【线性代数（9）】矩阵的秩

亦凉 2022-12-20 01:56 5阅读 0赞

### 矩阵的秩 ###

*  1 k阶子式和秩的定义
 *  2 矩阵的秩的定理
 *  3 有关秩的性质

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# 1 k阶子式和秩的定义 #

给定一个矩阵，任取k行和k列交叉元素，组成的行列式，就成为k阶子式，比如 A 3 X 4 A\_\{3X4\} A3X4取2阶子式，可以取前两行和后两列，结果如下:(由于只有3行，所以最多有3阶子式)  
 A = \[ 2 , 2 , 2 , 2 3 , 3 , 3 , 2 1 , 1 , 1 , 1 \]      k 2 = ∣ 2 , 2 3 , 2 ∣ A = \\left\[ \\begin\{matrix\} 2,2,2,2\\\\3,3,3,2\\\\1,1,1,1 \\end\{matrix\} \\right\]\\space \\space \\space \\space k\_\{2\}=\\begin\{vmatrix\} 2,2\\\\3,2\\end\{vmatrix\} A=⎣⎡2,2,2,23,3,3,21,1,1,1⎦⎤    k2=∣∣∣∣2,23,2∣∣∣∣然后查看一下示例的这个矩阵可以取得的各阶子式的值

*  1阶子式的值：方阵中各个元素的值
 *  2阶子式的值：0,0,-2（选择前两行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,0（取一三行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,1（取二三行，第一列和其余列的行列式值）
 *  3阶子式的值：0,0,0,0（只有三行，任意取三列，共有四种取法，最后结果都是0）

那么规定**非零子式的最高阶数**称作：**矩阵的秩**。比如刚刚的示例矩阵，其3阶子式全为0，所以最高的非零子式只有2阶，故矩阵的秩为2。

规定和性质：

*  零矩阵的秩为0，也就是r(0) = 0
 *  若矩阵 A m X n A\_\{mXn\} AmXn，则矩阵的秩取值范围为： 0 < = r ( A ) < = m i n \{ m , n \} 0<=r(A)<=min\\\{m,n\\\} 0<=r(A)<=min\{ m,n\}，若 r ( A ) = m r(A) = m r(A)=m取所有的行，被称为行满秩矩阵；若 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n即是取到了所有的列，被称作为列满秩矩阵；这两种情况都是称作满秩，说明 r ( A ) = m i n \{ m , n \} r(A) =min\\\{m,n\\\} r(A)=min\{ m,n\}
 *  若 r ( A ) < m i n \{ m , n \} r(A) < min\\\{m,n\\\} r(A)<min\{ m,n\}，说明矩阵是降秩矩阵
 *  若A为方阵， A 满 秩    ⟺    A 可 逆    ⟺    ∣ A ∣ ≠ 0 A满秩 \\iff A可逆 \\iff|A| \\not=0 A满秩⟺A可逆⟺∣A∣=0

# 2 矩阵的秩的定理 #

定理1：  r ( A ) = r    ⟺    有 一 个 r 阶 子 式 不 为 0 ， 所 有 的 r + 1 阶 均 为 0 r(A) = r \\iff 有一个r阶子式不为0，所有的r+1阶均为0 r(A)=r⟺有一个r阶子式不为0，所有的r\+1阶均为0（可以通过行列式的展开定理实现证明）

阶梯型矩阵：  
1）若有零行，零行在非零行的下面；  
2）左起首非零元左边零的个数随行数增加而严格增加  
 A = \[ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 0 , 1 , 1 , 1 , 1 0 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 0 , 0 , 3 , 4 0 , 0 , 0 , 0 , 0 \] 这 里 的 A 就 不 属 于 阶 梯 型 矩 阵 ， 不 满 足 第 二 点 A = \\left\[ \\begin\{matrix\} 1,1,1,1,1\\\\0,1,1,1,1\\\\0,0,0,1,1 \\\\ 0,0,0,3,4\\\\0,0,0,0,0\\end\{matrix\} \\right\] 这里的A就不属于阶梯型矩阵，不满足第二点 A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1,1,1,1,10,1,1,1,10,0,0,1,10,0,0,3,40,0,0,0,0⎦⎥⎥⎥⎥⎤这里的A就不属于阶梯型矩阵，不满足第二点  
行简化阶梯型：  
1）非零行的首非零元是1  
2）首非零元所在列的其余元素都是0

A = \[ 1 , 0 , 0 , 0 , 1 0 , 1 , 0 , 0 , 1 0 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 \] A = \\left\[ \\begin\{matrix\} 1,0,0,0,1\\\\0,1,0,0,1\\\\0,0,0,1,1 \\\\ 0,0,0,0,0\\\\0,0,0,0,0\\end\{matrix\} \\right\] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1,0,0,0,10,1,0,0,10,0,0,1,10,0,0,0,00,0,0,0,0⎦⎥⎥⎥⎥⎤

由此可以得出一个结论：**矩阵的秩还可以用非零行的行数表示**，非零行有几行，那么秩就为几

定理2：初等变换不改变矩阵的秩。一般使用初等行变换化为阶梯型

A = \[ 1 , − 1 , 2 , 1 , 0 2 , − 2 , 4 , − 2 , 0 3 , 0 , 6 , − 1 , 1 0 , 3 , 0 , 0 , 1 \] ⇒ \[ 1 , − 1 , 2 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , − 4 , 0 0 , 3 , 0 , − 4 , 1 0 , 3 , 0 , 0 , 1 \] ⇒ \[ 1 , − 1 , 2 , 1 , 0 0 , 3 , 0 , − 4 , 1 0 , 0 , 0 , − 4 , 0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 \] ⇒ r ( A ) = 3 A = \\left\[ \\begin\{matrix\} 1,-1,2,1,0\\\\2,-2,4,-2,0\\\\3,0,6,-1,1 \\\\ 0,3,0,0,1\\end\{matrix\} \\right\] \\Rightarrow \\left\[ \\begin\{matrix\} 1,-1,2,1,0\\\\0,0,0,-4,0\\\\0,3,0,-4,1 \\\\ 0,3,0,0,1\\end\{matrix\} \\right\] \\Rightarrow \\left\[ \\begin\{matrix\} 1,-1,2,1,0\\\\0,3,0,-4,1\\\\0,0,0,-4,0 \\\\ 0,0,0,0,0\\end\{matrix\} \\right\] \\Rightarrow r(A) = 3 A=⎣⎢⎢⎡1,−1,2,1,02,−2,4,−2,03,0,6,−1,10,3,0,0,1⎦⎥⎥⎤⇒⎣⎢⎢⎡1,−1,2,1,00,0,0,−4,00,3,0,−4,10,3,0,0,1⎦⎥⎥⎤⇒⎣⎢⎢⎡1,−1,2,1,00,3,0,−4,10,0,0,−4,00,0,0,0,0⎦⎥⎥⎤⇒r(A)=3

# 3 有关秩的性质 #

*   r ( A ) = r ( A T ) r(A) = r(A^\{T\}) r(A)=r(AT)
 *  矩阵乘以可逆矩阵，秩不变
 *   A m X n A\_\{mXn\} AmXn， P P P是m阶可逆方阵， Q Q Q是n阶可逆方阵  ⇒ r ( A ) = r ( P A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) \\Rightarrow r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) ⇒r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)，这里使用大白话说就是：矩阵左乘可逆矩阵、右乘可逆矩阵、左右乘可逆矩阵，矩阵的秩不变

哈哈哈，宋老师很皮~  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2x5c184Mjg_size_16_color_FFFFFF_t_70]

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