sin傅里叶变换公式_傅里叶变换理解上的几个难点

我就是我 2023-01-03 04:52 484阅读 0赞

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首先从**周期函数的傅里叶级数**讲起。

任何周期函数

![Image 1][] 都可以写成三角函数和的形式：

![Image 1][]

也就是说任何一个周期为

![Image 1][] 的函数都可以展开成周期为

![Image 1][] 的三角函数之和。

![Image 1][] ：利用三角函数和差化积的公式，公式

![Image 1][] 和下面的公式是等价的:

![Image 1][]

带相位的公式在直觉上更加直观，特别是配上教科书中矩形波展开成三角函数的图片。但是**将相位转换为正弦和余弦函数的系数**在计算上却变得简便，因为三角函数系

![Image 1][] 是

**正交**的，利用这个性质，系数就可以通过求 **内积**的方法得到（函数正交和内积的概念可以将傅里叶级数和矢量的分解联系起来）：

![Image 1][]

数学上还需要一些定理增加严谨性：**狄利克雷收敛定理**，但是大多数情况下我们只需要愉快的直接使用就可以了。对于**有限区间**上的函数，可以使用延拓的方法，非常好理解。

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![Image 1][]

**：但是如果这个函数在整个数轴上都是非周期的呢？其实这种情况对应频率的连续分布。此时从傅里叶级数表示变成了傅里叶积分表示，也就是说：周期函数和有限区间上的函数是级数表示；无穷区间上的非周期函数是积分表示。**

![Image 1][]

其中系数为：

![Image 1][]

上面的叫做**傅里叶积分**，别和**傅里叶变换**混淆了。（4）式的推导可以查教科书，形式上只需要将（1）式中的求和变为积分即可

![Image 1][] 。

**同样需要一些数学上严谨性的保证：这边的函数**

![Image 1][]

**，要求是绝对可积的**。（有时候拿到一个周期函数要求它的傅里叶系数，就想当然的带入上面的公式，这是错误的。首先周期函数一般不是绝对可积的，其次周期函数使用正交的三角函数系展开。）

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![Image 1][]

**：为什么傅里叶变换带有虚数，且出现了负频率？**

前面都是实数的形式，相对来说在脑海中可以构建出数轴的模型，但是最终傅里叶变换中突然就引入了虚数，这就是难理解的拐点之一，也就是凭什么要多此一举呢？因为我们真实世界中的信号实函数就可以描述了，我们测量的所有物理量也是实数，我们对于实数有着天生的直觉，但是对于复数大多人其实怀有畏惧的心理。

其实虚数在这里出现的原因出奇的简单，可以用下面这个图片说明：

![9072a8f2b044a68acc7fec4c2c6b97f4.png][]

你可以想象，如果数字用右边的那一列表示，那么进行数字的竖式运算，以及加减乘除会多么的麻烦。强如拉马努金，可能也很难通过右边原始的数学符号，猜出那些神奇的等式吧。

傅里叶变换的复数形式为：

![Image 1][]

其中：

![Image 1][]

其实公式(6)(7)和公式(4)(5)之间是通过欧拉公式联系起来的。

欧拉公式：

![Image 1][]

由欧拉公式可得：

![Image 1][]

这个叫做傅里叶变换的公式：

![Image 1][] ,实际上代替了傅里叶积分表示中的

![Image 1][] ，而

![Image 1][] 则代替了

![Image 1][] 。当然这里如果说得明白一点就可以自然理解负频率出现的意义了，因为在傅里叶积分中，我们对频率的积分是从零到无穷大，但是因为我们的正交函数系是三角函数系，频率都是正的，但是这里我们的基函数是

![Image 1][] ，而由欧拉公式

![Image 1][] ,

**所以对三角函数在正实轴的积分其实就是对**

**![Image 1][]在整个数轴上的积分，仅此而已**

。所以说实数函数的能谱一定是正负频率对称的。

所以虚数的引入并没有改变傅里叶积分的意义，这里我觉得：

**形式上简化了，处理起来简单了，理解上困难了，这就是复数在这里的作用**。我们大多数所说的能谱(功率谱)，实际上就是不关心傅里叶变换中的相位部分，只关心某种频率成分的比重，这时候其实对应的就是傅里叶变换F的模。而复数的幅角实际上就是不同频率成分的相位信息。

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以上就是从傅里叶级数——傅里叶积分——傅里叶变换，三者之间的联系。但是**我们实际测量一个连续的物理信号的时候，得到的其实都是这个实际物理信号在特定时间间隔的采样**，其次计算机在进行傅里叶分析的时候，每次积分只能得到某个频率成分的比重，计算的频率点增多，随之的计算量也变得很大。于是就有了快速傅里叶变换FFT，当然离散傅里叶变换DFT和FFT是两个不同的概念，FFT是DFT的快速算法，对采样点有限制。这里我们就讲FFT。

原来FFT的具体实现，目前自己居然从未接触过，只是在计算软件中给出具体的实现函数。FFT的具体推导过程可以在“信号与系统”的参考书中找到。

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最后就是**广义傅里叶变换**了，这在偏微分方程教材中有，但是如何和前面的理解有机的结合在一起，形成一个系统的知识体系，这是一个问题。

**难点四：在广义傅里叶变换下，原先的一些周期函数诸如**

**![Image 1][] 函数也可以进行广义傅里叶变换，变成**

**![Image 1][] 函数**

。

在前面已经指出，对于周期函数没有傅里叶变换，一般可以展开成傅里叶级数，系数可以表示成一个周期内的积分。但是在广义傅里叶变换中，傅里叶变换可以表示成频域中的

![Image 1][] 函数。

**广义函数的定义**：函数空间到实数（或复数）空间的映射。

一般可以写成这样的形式：

![Image 1][]

这样

![Image 1][] 就是一个广义函数，典型的广义函数就是

![Image 1][] 函数，将一个函数映射为在原点的取值。一些周期函数在这样的定义下也是广义函数，这要适当选取函数空间

![Image 1][] 可以保证定义中右边的积分是收敛的。如果函数空间

![Image 1][] 中的函数都可以进行傅里叶变换，那么变换后仍然可以构成一个函数空间，那么就可以把广义函数的傅里叶变换转移到实验函数的傅里叶变换，也就是说：

![Image 1][]

可以给出以下关系的不严格的证明：

![Image 1][]

只需将f(t)换成delta函数，并根据delta函数的性质，就可以得到delta函数的傅里叶变换，当然这里并没有用到广义函数的傅里叶变换的定义，所以这样的证明当然是不严格的。这样一个简单的关系，配合广义傅里叶变换的**时移，频移，伸缩，求导**等性质，可以得到很多常见函数的**广义傅里叶变换**。

**思考**：一个函数如果存在傅里叶变换，那么它的广义傅里叶变换和傅里叶变换是否一样？

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[Image 1]: 
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