ai直线怎么变折线_初学讲义之高中数学十五：直线

「爱情、让人受尽委屈。」 2023-01-01 12:56 221阅读 0赞

解析几何是高中数学非常重要同时也比较难的部分，它的核心思想就是用代数的方法（函数和方程）来表达几何图形并求解问题

比起方法千奇百怪的传统平面几何，解析几何提供了更加一般的方法，只需要掌握基础的概念和一定的计算能力，就可以很“公式化”地解决问题

因此，理解和掌握解析几何的基础是重中之重，再复杂的问题只要套用各种公式都可以顺利的解决

掌握解析几何需要很好的函数基础，函数部分不是很扎实的同学建议先把函数练练好，特别是只涉及到多项式和三角函数（不涉及到指数、对数）的复合函数

## 直线 ##

从最简单的直线开始

正是由于直线简单，易于掌握它的全部性质，便于为后面更加复杂的图形打下基础

在学习本篇时，要注意训练几何想象能力，也就是把看到的函数或者方程转化为几何图形的能力，文中也会有相应的提示

**1.1 直线是什么**

这里不讲直线的严格数学定义，那是大学数学专业的内容

按照高中的内容，可以把直线看作是**有固定斜率的图形**

斜率又是什么？

就是从图形上任取两点：A

![Image 1][] 和 B

![Image 1][]

则AB的斜率就是

![Image 1][]

也就是纵坐标的差除以横坐标的差

也可以理解为直线AB与x轴夹角的正弦值tan

斜率的直观理解就是**倾斜的程度**

斜率的绝对值越大，倾斜的程度越大，也就是“站”得越直

斜率的绝对值越小，倾斜的程度越小，也就是“躺”得越平

有的同学可能会觉得，斜率本来不就是一条直线吗？也就是所谓的切线

正是这样

应该说，直线就是**处处斜率都相等**的图形

这种说法与前面说的的**有固定斜率**是一个意思

与直线相对应的，“不直的线”的斜率就不是固定的

比如二次函数

![Image 1][]

任意两点的斜率为：

![Image 1][]

它的斜率与

![Image 1][] 的取值有关，不是固定的，就不是直的

**1.2 一次函数**

现在来复习一次函数

f(x)=kx+b

为了方便起见，我们用y代替f(x)，也就是

y=kx+b

这里x和y是变量，k和b是常数

**1.2.1 一次函数的斜率**

《四：一次函数》中很简单地讲到了直线y=kx+b的斜率为k，但没有详细讲为什么

这里按照斜率的定义：

![Image 1][]

对直线y=kx+b上的任意两点

![Image 1][] 和 Q

![Image 1][]

则PQ的斜率为：

![Image 1][]

据此得证，直线y=kx+b的斜率为k，任意两点的斜率都是k

**1.3 直线的旋转**

现在开始要把代数式的变化与图形的变化联系起来

同学们应该都看过西游记，孙悟空有个经典动作就是转金箍棒

把金箍棒看作是一条直线的话，它绕着孙悟空的手为中心旋转

现在我们就要旋转直线

为了便于理解，我们来研究如下这个一次函数：

y=kx-k+1

现在来看随着k变化这条直线如何变化

在变化之前，要先确定，无论k如何变，这条直线必定经过一个点，也就是旋转的中心

这个点是哪个？

如果你能很快独立求出，并说出为什么，那么你的数学功底相当扎实

如果不行，那么需要加强训练数理逻辑

下面给出简单的思路：

> 第一步： y=kx-k+1经过的点的坐标为（x，kx-k+1）  
> 第二步： 只要坐标（x，kx-k+1）里有k，那么如果k变，这个点肯定会变  
> 第三步： 要想k变这个点不变，就要把k“抹消”  
> 第四步： 怎么“抹消”？很简单，让x=1即可，也就是这个点为（1，k-k+1），即（1,1）

**额外插入**

> 在求某个图形必定经过某个点时，只要把未知数（x、y）当做已知数，把参数（比如上面的k）当做未知数，把参数单独提出来，令它的系数为0即可（就像上面，把它变化为y=(x-1)k+1），求解令参数的系数为0的方程（上例中的 x-1=0），就可以得出必定经过的点

确定了无论k怎么变，y=kx-k+1必定经过（1,1）

现在开始旋转直线，从0到无穷大开始改变k，如下图所示：

![794d2861c9f937ede8ce4c2dbce04f60.png][]

红色的点为（1,1），已证明无论k如何变直线都经过该点

当k=0时，直线是“平躺”着的

当k逐渐增大时（0.02、0.5、1、2），直线慢慢地“站”起来了

当k很大时（20，甚至更大），直线“站”得越来越直了

当k大到无穷大时，我们对y=kx-k+1进行变形：

两边同时除以k得：y/k=x-1+1/k

由于k→+∞，因此y/k和1/k都是0，该函数变为x-1=0，即x=1

也就是经过点（1,1）且平行于y轴的直线

现在接着旋转：

![806751fbd79275904541c23f77426d5e.png][]

当k=-20（或者负的绝对值更大时），它从“直立”开始慢慢“躺下去”了

当k的绝对值逐渐减小时（-2、-1、-0.5、-0.02），它“躺”得越来越“平”

当k=0,时，它恢复到最开始“彻底平躺”的状态

这就是直线y=kx-k+1随着斜率k的变化，绕着固定点（1,1）旋转的过程

要有直观的印象：

当k的绝对值越大，直线“站”得越“直”

当k＞0时，是向右倾斜的，当k＜0时，是向左倾斜的

最后说明下，这里举例用y=kx-k+1，是因为它的固定点（1,1）不在坐标轴上，避免了直线与坐标轴重合时看不清的情况

练习：

仿照上例，自行作图观察y=kx+1，当k从0到+∞，再从-∞到0旋转的全过程

**1.4 直线的平移**

在《五：二次函数》中详细讲过函数平移

一次函数的平移比二次函数要简单许多

这里再简单回顾下：

对直线y=kx+b

当它沿着x轴移动p个单位时，表达式变为y=k(x-p)+b

当它沿着y轴移动q个单位时，表达式变为y=kx+b+q

当它沿着x轴移动p个单位、沿y轴移动q个单位时，表达式变为y=k(x-p)+b+q

**小结**

到这里，单个直线的性质和变换都基本讲完了

单个直线的内容就是这么少、这么简单

**但是**

几何图形不是孤立的，是要与其他图形发生关系的

下面开始正儿八经的解析几何

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## 直线方程 ##

**2.1 直线的一般方程**

如上所述，一次函数已经可以很好的表示直线了

但它有一个小的不方便和一个大的不方便

小的不方便：

y=kx+b（注意：这里k可以为0）无法表达与y轴平行的直线，需要另写为x=a

大的不方便：

一次函数归根到底还是个函数，它表示的是：y随着x变化而变化的规律

在一次函数中，因变量y与自变量x的地位是“不平等”的

在表示直线，特别是涉及到直线的性质、与其他图形相互间关系的计算时，一次函数并不总是好用

好在，只需要对一次函数做个小小的“变形”，它就能成为更加好用的工具

这个工具就是方程

如何来变化呢？

非常简单

一次函数的标准式：

y=kx+b

它是一个等式

等式的左右两边是可以移来移去的

我们把所有元素都移到一边，就变成了：

kx-y+b=0

这里k可以为0

但是y的系数就不能为0了

为了解决这个问题，在y前面也加个系数就好了，比如用字母 p，就变成了：

kx-py+b=0

这个式子看起来有些乱，我们用a、b、c来代表系数，并且全都用加号，（需要减号时让a或b或c是负数就好了），于是就变成了：

**ax+by+c=0（a、b不同时为0）**

这是直线的**一般方程**

在这个方程里，x和y是“平等”的

x的系数a可以为0，y的系数b也可以为0，但a、b不能同时为0，否则它将失去意义

对于给定的直线，除了a=0或者b=0的情形，如果确定了x，就可以求出y；如果确定了y，就可以求出x

一般式最大的优点就是“一般”，非常的简洁，可以表示任何的直线，没有冗余的成分，每个元素都不能少

一般式最大的缺点也是“一般”，过于简洁了，没有直接“透露”直线的信息，虽然只要对它进行简单的运算就可以得到

**2.2** **一次函数与直线一般方程**

现在来比较下一次函数和直线的一般方程的表达式：

一次函数：y=kx+q

直线方程：ax+by+c=0

将直线方程变形为一次函数的形式：

y=(-a/b)x+(-c/b)

可以看出：k=-a/b，q=-c/b

当然，这里不包括b=0的情形

**2.3 向量与直线**

现在来比较下向量和直线

**2.3.1 方向**

向量和直线都有“方向”

向量的方向是确定的一个，比如向量（u，v）的方向可以用起点为原点（0，0）指向点（u，v）的箭头表示

直线有方向，指向两个没有尽头的“头”

这么看来，向量更像是只有一个方向的射线

**2.3.2 量（大小）**

向量有“量”，直线没有量

向量有确定的长短，也就是它的模，比如向量（u，v）的长度就是

![Image 1][]

直线是无限长的

这么看来，向量又更像是有长度的线段

事实上，**向量就是有方向的线段**

**2.3.3 平移**

向量可以任意平移，它的要素只有“方向”和“量”这2个，不包含“位置”，无论向量如何平移，它的“方向”和“量”都不变

直线平移后就变成其他直线了，新的直线与原直线平行，有相同的方向

**2.3.4 旋转**

向量旋转之后，方向就变了，就变成了其他的向量

当向量旋转π之后，变成与原来方向相反的向量

向量旋转通常是以它的起点为中心进行旋转

直线旋转之后方向也变了，变成了其他的直线

不同的是，直线旋转π之后，又变回原来的直线，因为直线有两个“头”

直线旋转通常是需要选定某个特定的点为中心，无论如何旋转这个点都在直线上，其他点就都不在了（除了与原来重合时）

**2.3.5 拉伸（压缩）**

向量有模，拉伸或压缩，它的长度发生变化

直线是无穷长的，拉伸或压缩对它不起作用

**2.4 直线的其他方程**

刚刚比较向量与直线，是为了这里铺路

直线的一般方程中讲到了，一般方程没有很直观的表达出直线的信息，下面要讲几个特殊的方程，分别直观地体现了直线的不同特点，可以在不同的时候选取合适的形式使用，但它们本质上都是一般方程的变形，也都可以简化为一般方程

**2.4.1 点方向式方程**

2.3.1 中比较了向量与直线的方向

可以发现，向量与直线都是有方向的

不同的是向量有正负，直线的两端没有正负之分

但二者的方向都可以用与坐标轴的夹角来表示

某个向量如果与某条直线平行，那么它的反方向也与该直线平行

比如直线ax+by+c=0

它的斜率为-a/b

那么它就与向量（1，-a/b）平行，也与（-1，a/b）平行

![d10539ebae602db17040ec2ebecc7c66.png][]

图中的直线为x-y-1=0（也就是y=x-1），它的斜率为1

（注意：现在开始要熟悉使用方程代替一次函数，事实上一次函数也是方程的一种特殊形式）

图中红色的向量为（1,1），蓝色的向量为（-1，-1），它们都与x-y-1=0平行

要确定一条直线，我们可以通过确定它的方向（这样它就不能旋转了），再确定某个它经过的某个点（这样它就不能平移了），来唯一确定它

这个过程有些像把画钉在墙上，先确定这幅画是正着还是以某个角度钉上去，然后再选取要钉的具体位点，这副画就唯一确定了

确定方向（挂画的角度）和确定经过的点（钉画的位点）两个过程是相互独立的，谁先谁后都可以

那么，当我们知道某条直线的方向是向量（u，v），同时又知道它经过点

![Image 1][] ,该如何求它的方程呢？

很简单，既然这条直线与向量（u，v）平行，那么它的任意两点间的斜率与（u，v）相同

取任意点（x，y）和已知点

![Image 1][]

这两点间的斜率就是

![Image 1][]

它与（u，v）的斜率相同，也就是v/u

由此可得：

![Image 1][]

也就是

![Image 1][]

上面这个式子叫作直线的**点方向式方程**

![Image 1][]是已知该直线经过的点，向量（u，v）是它的方向向量

对上式进行变形后可以得到：

![Image 1][] 的一般式

这里一般式ax+by+c=0中a=v，b=-u，c=

![Image 1][]

**举例**

下面来看个具体的例子

![32d68dbaa5c2115661647d2634c8495d.png][]

已知某直线的方向向量是（1,2），它经过点A（2,1），求直线方程

很简单

设直线上任意点X（x，y）

则向量AX的方向就是（x-2，y-1）

由于它的方向向量就是（1,2）

因此(y-1)/(x-2)=2/1

或者(x-2)/1=(y-1)/2（二者是一样的）

解得直线方程为2x-y-3=0

点方向式方程的最佳使用条件就是在知道直线的方向和经过的点时，可以很快求出直线的方程

这个方程的核心在于

![Image 1][]或者

![Image 1][]

这个式子就是“平行”的数学本质：**斜率相等**

**2.4.2 点法向式方程**

这里先要介绍法向量

**与直线l垂直的向量就叫作直线l的法向量**

比如x轴的正方向就是y轴的法向量，x轴的负方向也是y轴的法向量

同样y轴的正方向和负方向都是x轴的法向量

总之只要两条直线相互垂直，其中一条直线的某个方向向量就是另一条直线的法向量

专门提出一个叫法向量的东西看起来好像有些多此一举，其实它还是很好用的，这里就是第一个应用：

当知道某直线的法向量（u，v）和它经过的一个点

![Image 1][]时，求这条直线的方程

很简单，和点方向式类似，从直线上任取一点X (x, y)

于是

![Image 1][] 就是它的方向向量

又已知法向量（u，v）与它垂直

于是（u，v）·

![Image 1][]=0

也就是

![Image 1][]

化简得

![Image 1][]

比较下一般式ax+by+c=0可以看出：a=u，b=v，c=

![Image 1][]

**举例**

下面来看个具体的例子

![6c4a3c741802f0c2a79d737fa3d31775.png][]

已知某直线的法向量是（-2,1），它经过点A（2,1），求直线方程

很简单

设直线上任意点X（x，y）

则向量AX的方向就是（x-2，y-1）

由于它的法向量就是（-2,1）

因此-2\*(x-2)+1\*(y-1)=0

解得直线方程为-2x+y+3=0

或者变下正负号成为2x-y-3=0

点法向式方程的最佳使用条件就是在知道直线的法向量和经过的点时，可以很快求出直线的方程

这个方程的核心在于

![Image 1][]也就是

![Image 1][]

这个式子就是“垂直”的数学本质：**向量内积为0**

点法向式还有个2个优点：

它的一般式ax+by+c=0中的系数a和b分别就是法向量u和v

在处理两条直线的平行、垂直或者求夹角时，直接求它们法向量是否平行、垂直、夹角就行

**2.4.3 两点式**

小学就学过“经过两点有且只有一条直线”

那么已知两点，如何确定一条直线呢？

已知某直线经过点

![Image 1][] 和

![Image 1][] ，求直线方程

很简单，还是用“直线上任意两点斜率处处相等”

设任意点X（x，y）

则有：

![Image 1][]

后续化简不再展开

这里只是再次使用下“直线上任意两点斜率处处相等”的概念以加深印象

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## 直线之间的关系 ##

平面上直线之间的关系就3种：重合、平行和相交

现在逐个讨论

**3.1 重合**

重合就是一样，两条直线重合，就是它们的方程一样

比如两条直线：

ax+by+c=0

px+qy+r=0

如果a/p=b/q=c/r，那么这两条直线就重合

很容易证明：

假设a/p=b/q=c/r=t

对直线px+qy+r=0上的任意点

![Image 1][] ,则有：

![Image 1][]

在上式两边同时乘以t得：

![Image 1][]

也就是

![Image 1][]

这意味着直线px+qy+r=0上所有的点都在直线ax+by+c=0上

反过来用ax+by+c=0除以t也可以证明它上面的所有点都在直线px+qy+r=0上

因此这两个方程表示的是相同的直线

简洁地讲，就是如果几个直线方程的所有系数呈相同的比例，那么这是同一条直线的方程

**3.2 平行**

平行就是具有相同的方向向量

由于直线向两个方向无限延伸，因此具有相反的方向向量的直线也平行

方向向量相同还是相反，对直线没有区别，也就是把起点和终点互换就可以

由于法向量与直线垂直，因此如果两条直线平行，那么它们的法向量也平行

对于一般式：

ax+by+c=0

px+qy+r=0

它们平行就是-a/b=-p/q，即a/b=p/q

或者法向量平行就是：b/a=q/p，与上式是一样的

或者也可以写为a/p=b/q

但是a/p=b/p≠c/r，否则就变成重合了

简洁地讲，几条直线平行，那么它们的斜率相同，等价于x、y前的系数成比例，（严谨起见，常数项不能成相同的比例，否则就重合了，重合也可以看作是平行的特例）

**3.3 相交**

相交主要讨论特殊的情况：垂直

对于一般式：

ax+by+c=0

px+qy+r=0

可以用方向向量垂直：(b,-a) · (q ,-p)=0，即bq+ap=0

也可以用法向量垂直：(a, b) · (p, q)=0，即ap+bq=0，与上式相同

如果求两直线的夹角，直接用余弦定理即可：

cos（两个直线的夹角）=直线1方向向量 · 直线2方向向量/（直线1方向向量的模 \* 直线2方向向量的模）

也就是

![Image 1][]

事实上，用法向量也是可以的，也就是

cos（两个直线的夹角）=直线1法向量 · 直线2法向量/（直线1法向量的模 \* 直线2法向量的模）

得到的结果仍然是

![Image 1][]

到这里还没有结束，在讨论两条直线的夹角时，由于直线没有方向，往往只讨论锐角

也就是如果

![Image 1][] ＜0，要把它变成相反数，因为cos

![Image 1][] ，就得到了锐角

所以最终结果为

![Image 1][]

从上述公式可以看出，夹角与常数项c和r没有任何关系，只与x、y项的系数a、p、b、q有关

无论这两条直线如何平移，它们的夹角是不会变的

不信的话，假设对它们做平移变换，比如变成a(x-s)+b(y-t)+c=0，化简后为ax+by+c-as-bt=0

x、y的系数并未发生变化，只是常数项变化了

图像如下所示：

![dffab10a6169e2f15db0e6a2bf787dab.png][]

--------------------

## 点与直线的关系 ##

点与直线的关系只有两种：点在直线上，点不在直线上

只要把点的坐标代入直线方程，如果方程成立，点就在直线上，如果不成立，就不在

点在直线上的话没什么可讨论的

下面来看点不在直线上的情况

**4.1 点到直线的距离**

对直线ax+by+c=0(a、b不同时为0）和直线外一点

![Image 1][] ，求点到直线的距离

这里介绍两种方法，一种巧妙，一种通用

**4.1.1 巧妙方法**

点到直线的距离，就是从该点向直线引垂线，该点到垂足之间线段的长

我们设垂足为Q

![Image 1][]

于是直线PQ的方向向量就是

![Image 1][]

又已知直线ax+by+c=0的法向量为（a，b）

于是向量

![Image 1][]与向量（a，b）是同向（或反向）的

因此它们的夹角是0（或π）

根据向量的内积：

![Image 1][] · (a，b)=|

![Image 1][]|\*|(a，b)|\*cos0

或

![Image 1][] · (a，b)=|

![Image 1][]|\*|(a，b)|\*cosπ

由于|cos0|=|cosπ|=1，因此上面两种情况可以合并为：

![Image 1][] · (a，b)|=|

![Image 1][]|\*|(a，b)|

即：

![Image 1][]

这里

![Image 1][] 就是线段PQ的长，也就是点P到直线ax+by+c=0的距离

因此距离d=

![Image 1][]

又因为点Q

![Image 1][] 在直线ax+by+c=0上

因此

![Image 1][] ，即

![Image 1][]

代入得到：

![Image 1][]

**4.1.2 通用方法**

**练习**

上面的方法巧妙地利用了Q

![Image 1][] 在直线ax+by+c=0上的性质：

![Image 1][]进行了简化

作为练习，请按照如下思路逐步求解：

第一步：求出经过点P

![Image 1][] ，与直线ax+by+c=0垂直的直线的方程

第二步：求出这两条直线的交点Q的坐标

第三步：求出PQ的距离

上述练习的计算逐步越来越复杂，但是复杂的计算能力是解析几何中相当重要的，请认真练习

答案应当是相同的，即

![Image 1][]

**4.2 直线的两侧**

直观上看，直线把平面分为两侧

竖直的直线把平面分为左右两边，平躺的直线把平面分为上下两边

该如何判断几个点是否在直线的哪侧呢？

很简单，把点的坐标代入直线方程的左边即可

比如有两个点

![Image 1][]、

![Image 1][]和直线ax+by+c=0

分别代入：

![Image 1][] 和

![Image 1][]

如果

![Image 1][]和

![Image 1][] 同时大于0或者同时小于0，那么它们在直线的同侧

如果它们一个大于0，另一个小于0，则在直线的两侧

对任意点代入ax+by+c，所有结果＞0的在一侧，所有＜0的在另一侧，所有=0的在直线上

## 直线小结 ##

直线是最简单的几何图形，从最简单的图形入手，把它的数学表达式、几何意义、基本性质全部弄懂，对学习后面更复杂的几何图形非常有帮助

本篇涉及到很多公式，要把公式推导的过程和原理全部弄清楚、记牢。公式忘掉不要紧，用不了1分钟就可以重新推导出来

本篇除了学习直线外

更重要的是掌握方程（x、y处于“平等”地位）、斜率、平行、垂直（法向量）、交点、距离等概念

要努力培养把代数式和几何图像互相转化和联想的能力

[Image 1]: 
[794d2861c9f937ede8ce4c2dbce04f60.png]: /images/20221120/270222ea3e71481f82da49e584d5f784.png
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