五位回文数共有多少个_今天是世界完全对称日！聊聊回文数！

梦里梦外; 2023-01-01 08:56 196阅读 0赞

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2020.02.02

**日**

**一**

**二**

三

**四**

**五**

**六**

这是 **刘老师的数学日记**推送的第 **414**篇文章

今天是几月几日？星期几？

这可能是最近假期最难回答的问题。每天呆在家也不知道具体日期了。

今天是2020年2月2日，是个什么日子？

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这个日期标准书写应该是2020年02月02日，**20200202完全对称**。这也被网友称为：“千年一遇的对称日”。

今天正好初九，可谓长长久久；另外，2020谐音又有爱你爱你的意思，所以很多人准备在今天结婚或领证。之前不少民政部门都加班开放婚姻登记，满足大家好事成双的愿望。

但由于最近疫情严重，民政部门取消今天的婚姻登记，不少新人也推迟结婚的日子。那这也不影响大家了解这个有趣的数。

在数学中，像这样对称的数有很多。**对称数也称为回文数**，比如10101，即从中间分两边对称的数，奇、偶位数都有这种现象。据推算，从公元1年01月01日(10101)到今年的2020年2月2日(20200202)总共有514个世界完全对称日。

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##### 21世纪对称日已经过去了20011002、20100102、20111102。2020年02月02日之后的“对称日”是2021年12月02日，再等到2030年03月02日，然后十年一次2040年04月02日，2050年05月02日......直到2101年10月12日，开始下一个世纪的轮回。 #####

但这些对称的日子都好像没有10010101和20020202这样给人感觉特殊、让人印象深刻。

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像这样**从左到右读与从右到左读完全一样的自然数，我们称该之为回文数或者对称数。** **所有的回文数都是呈中间对称的数。**如111,3223，52325……等。注意哦，像111,2222,33333等相同数字组成的数，也叫作回文数。

**那你自己能写一个回文数吗？**

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**121~立正！**

**第一反应就是体育老师嘴巴中熟悉的的“121”。当然、回文数非常之多。**

首先，所有单个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9都是回文数。

其次，任意一个数字不断写下去也是回文数。如11、22、111、999……

最后，先任意写几个数字，再把这几个数字的顺序反一反，继续写下去，也是回文数。如12344321、10122101……

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**那回文数有多少呢？你能有序地找到它们吗？**

那我们就从一位数、两位数、三位数、四位数……去找找规律。

**一位数**：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个一位数从左往右读和从右往左读都是一样，这10个数都是回文数。

**两位数：**两位数也很好找，十位和个位要一样。分别是11，22，33，44，55，66，77，88，99，一共有9个。

**三位数：**根据回文数的特点，百位和个位上的数要一样，所以**百位和个位分别可以是1，2，3……9，一共有9种情况。**如1()1，2()2，3()3，……9()9。

**十位上的数**依次可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字。所以9×10=90(种)。这里就需要**有序思考，做到不重复不遗漏。这就有点排列组合的“味道”了。**

**四位数：**回文数的数字都是对称出现的，**所以第一位和第四位是相同的，第二位和第三位是相同的；所以只要考虑第一位和第二位。**而第一位又不能是0，所以只能填1—9。第二位可以是0—9任意的数，有10种可能。所以，四位数的回文数一共有9×10=90种。

**五位数：**方法同上，由于第一位和第五位相同，可以填1—9；第二位和是四位相同，可以填0—9，第三位也可以填0—9，所以列式**9×10×10=900**种。

**六位数：**六位数也可以分成三类，第一位和第六位，第二位和第五位，第三位和第四位。因此列式9×10×10=900种。

……

**关于回文数个数问题，又一年数学高考题出过下面一道题目：**

**回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，111,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99。3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则**

**(1)4位回文数有\_\_\_\_\_\_个；**

**(2)2n＋1(n∈N+)位回文数有\_\_\_\_\_\_个。**

关于回文数的个数，从刚才特殊的情形可以归纳一下：

归纳一般性的规律：**n位数的回文数的个数，当n=2k(k∈N\*)时有9×10k-1个；当n=2k+1(k∈N\*)时有9×10k个.**

**一个数能不能通过加法制造出回文数？**

这里，以35为例，它显然不是回文数。35可以加很多数变成回文数。但有一个特殊的方法制造回文数是很奇妙的。

35+53=88(回文数)；两个加数是相反的，也就是一个加数倒过来读就是另一个加数。

这只是个猜想。再举几个例子试试！

36+63=99，316+613=929，326+623=949，346+643=989

……

我们发现：**只要一个数加上这个数倒过来读的数，就能制造出回文数。**

那再举个例子试试！用58试试！

58+85=143(不是回文数)怎么不行了；再往下看。

143+341=484(又是回文数)

原来，**一个多位数，如果不是回文数就加上它的倒写数，得到的和是回文数；如果得到的和不是回文数，就继续重复这样的方法，最后还是会得到一个回文数。**

再比如，写一个自然数68，按上面的步骤运算：

68+86=154，

154+541=605，

605+506=1111，

经过三步计算，就得到了一个回文数1111。

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是不是很神奇！

当然，  **这还只是一个猜想哦！数学家们得出了著名的“回文数猜想”：任意写一个自然数，经过有限次运算后，一定会得到一个回文数。**

“回文数猜想”与世界上许多著名的猜想一样，至今还没有人能证明“回文数猜想”是否成立。

有人用计算机验证过：在1至10000之间，有97.5%的自然数可以在24步计算以内得到回文数。其余的自然数(196除外)要经过更多步计算才能得到回文数。

而唯一例外的是196这个数，在经过37303步计算之后，得到一个15500位的数，在经过几十万步计算后仍未得到回文数。继续做下去究竟能不能得到回文数，还是一个解不开的谜。**数学家认为，如果“回文数猜想”不成立的话，也许196就是一个反例。**

**除了用加法制造回文数，还可以用别的运算方法吗？**

模仿加法制造回文数的样子继续研究，可以用减法、除法结合解决这个问题：**任意写一个自然数，把它倒过来从右往左写成另一个自然数，并将这两个数相减；然后将所得的差除以9.重复这一过程，经过有限次运算后，一定会得到一个回文数。**

以196为例，按上述步骤计算：

691-196=495，

495÷9=55，

经过计算，就得到了回文数55。

当然用乘法也可以制作出回文数，可以自己探究探究！

回文数在很多方面能够有体现出数学的趣味性，比如寻找除了回文数特征以外，还具有其他特征的数字。

如：**回文素数**：2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,181,191,…

**回文完全平方数**：0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,…

关于回文数的知识还有很多，也有很多**有趣的结论**：

(1)从1到9的任何数乘以11，总能得到一个回文数，如11×8=88；

(2)每一个位数是偶数的回文数一定可被11整除，如122221÷11=11111；

(3)两个由1组成的数且数位不超过9的乘积一定是回文数，如

1111×11111=12344321；

……

“回文数”是如此高深莫测，有兴趣的话我们还可以进一步对它进行研究！

在看点这里 ![022871c59c4b4752d3aab2427ce85ba0.gif][]

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