正定矩阵及其系列性质

浅浅的花香味﹌ 2022-12-28 06:24 239阅读 0赞

## 1. 正定矩阵的定义 ##

广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有![z^TMz>0][z_TMz_0]，则称M为正定矩阵；

狭义定义：一个*n*阶的实对称矩阵*M*是正定的的条件是[当且仅当][Link 1]对于所有的非零实系数[向量][Link 2]*z*，都有![z^TMz>0][z_TMz_0]。

## 2. 正定矩阵的性质 ##

正定矩阵的行列式恒为正：![|A|>0][A_0]

实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同

若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵

两个正定矩阵的和也是正定矩阵

正实数与正定矩阵的乘积也是正定矩阵

## 3. 正定矩阵的等价命题 ##

对于n阶实对称矩阵A，下列等式是等价的：

A是正定矩阵

A的一切顺序主子式均为正

A的一切主子式均为正

A的特征值均为正

存在实可逆矩阵C，使得![A=C^TC][A_C_TC]

存在秩为n的![m\\times n][m_times n]实矩阵B，使得![A=B^TB][A_B_TB]

存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使得![A=R^TR][A_R_TR]

ps：

### 矩阵合同的定义 ###

设A,B是两个n阶的方阵，若存在可逆矩阵C，使得：

![C^TAC=B][C_TAC_B]

则称方阵A与方阵B合同，记作：![A\\simeq B][A_simeq B]

### 矩阵的顺序主子式： ###

![M=\\begin\{bmatrix\} 6 & -3 & 1\\\\ -3 &2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 \\end\{bmatrix\}][M_begin_bmatrix_ 6 _ -3 _ 1_ -3 _2 _ 0 _ 1 _ 0 _ 4 _end_bmatrix]

对称矩阵M的三个顺序主子式依次为：

![|6|=6>0][6_6_0]

![\\begin\{bmatrix\} 6 & -3 \\\\ -3 & 2 \\end\{bmatrix\}=3>0][begin_bmatrix_ 6 _ -3 _ -3 _ 2 _end_bmatrix_3_0]

![\\begin\{bmatrix\} 6 & -3 & 1 \\\\ -3& 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 \\end\{bmatrix\}=10>0][begin_bmatrix_ 6 _ -3 _ 1 _ -3_ 2 _ 0 _ 1 _ 0 _ 4 _end_bmatrix_10_0]

因此矩阵M是正定的

[z_TMz_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?z%5ETMz%3E0
[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E5%BD%93%E4%B8%94%E4%BB%85%E5%BD%93
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E5%90%91%E9%87%8F
[A_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%7CA%7C%3E0
[A_C_TC]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%3DC%5ETC
[m_times n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?m%5Ctimes%20n
[A_B_TB]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%3DB%5ETB
[A_R_TR]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%3DR%5ETR
[C_TAC_B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?C%5ETAC%3DB
[A_simeq B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5Csimeq%20B
[M_begin_bmatrix_ 6 _ -3 _ 1_ -3 _2 _ 0 _ 1 _ 0 _ 4 _end_bmatrix]: https://private.codecogs.com/gif.latex?M%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%206%20%26%20-3%20%26%201%5C%5C%20-3%20%262%20%26%200%20%5C%5C%201%20%26%200%20%26%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D
[6_6_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%7C6%7C%3D6%3E0
[begin_bmatrix_ 6 _ -3 _ -3 _ 2 _end_bmatrix_3_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%206%20%26%20-3%20%5C%5C%20-3%20%26%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D3%3E0
[begin_bmatrix_ 6 _ -3 _ 1 _ -3_ 2 _ 0 _ 1 _ 0 _ 4 _end_bmatrix_10_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%206%20%26%20-3%20%26%201%20%5C%5C%20-3%26%202%20%26%200%20%5C%5C%201%20%26%200%20%26%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D10%3E0