正定矩阵

浅浅的花香味﹌ 2022-05-30 09:48 143阅读 0赞

**定义：**一个n × n的实[对称矩阵][Link 1] M 是正定的[当且仅当][Link 2]对于所有的非零实系数[向量][Link 3]z，都有 zTMz > 0。其中zT 表示z的[转置][Link 4]。

**性质：**

若![M][]为半正定阵，可以写作![M \\geq 0][M _geq 0]。如果![M][]是正定阵，可以写作![M > 0][M _ 0]。这个记法来自[泛函分析][Link 5]，其中的正定阵定义了[正算子][Link 6]。

对于一般的埃尔米特矩阵，![M][]、![N][]，![M\\geq N][M_geq N]当且仅当![M-N \\geq 0][M-N _geq 0]。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的[偏序关系][Link 7]。类似地，可以定义 ![M>N][M_N]。

<table style="font-size:14.399999618530273px; color:rgb(0,0,0); font-family:sans-serif; line-height:21.600000381469727px"> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>1.</td> 
 <td> 每个正定阵都是<a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5" title="可逆矩阵" style="text-decoration:none; color:rgb(11,0,128)" rel="nofollow">可逆的</a>，它的逆也是正定阵。如果&nbsp;<img alt=" M \geq N > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/c/5/b/c5b9edc3ed836199863bff67694ffcf3.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">&nbsp;那么&nbsp;<img alt=" N^{-1} \geq M^{-1} > 0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/5/0/f505ef5d34ffae6bd1fa2a975c35b2ac.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">。 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>2.</td> 
 <td>如果<img alt="M" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/9/6/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png" style="border:none; vertical-align:middle">是正定阵，<img alt="r > 0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/e/6/7e670c394c1c4e04ac216cd3e98810b2.png" style="border:none; vertical-align:middle">为正实数，那么&nbsp;<img alt="r M" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/9/d/19da9202a2b0d78ac7afa534711b938b.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;也是正定阵。 如果&nbsp;<img alt="M" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/9/6/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">、<img alt="N" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/d/9/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">&nbsp;是正定阵，那么和<img alt="M + N" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/1/b/f1b0499ee4cca9697d997ed9a30c4f2f.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">、乘积&nbsp;<img alt="MNM" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/7/e/17efe8604e27a610a3a25f0bd6fcf033.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">&nbsp;与&nbsp;<img alt="NMN" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/b/6/fb661d2fb220317054a43f00304d2d42.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">&nbsp;都是正定的。如果&nbsp;<img alt="M N = N M" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/6/f/46ffdd206a1e4337395dafd4bd862ee9.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">，那么&nbsp;<img alt="M N" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/4/3/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px">&nbsp;仍是正定阵。 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>3.</td> 
 <td>如果<img alt=" M=(m_{ij}) > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/f/8/3f8cdd8e2bc1f9e459545ede576ef136.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;那么主对角线上的系数<img alt=" m_{ii} " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/c/d/6cd669e392314b327541a11b4d94e29e.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;为正实数。于是有<img alt=" \text{tr}(M)>0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/0/1/701342be19e01ed3a21f83eaec41f0af.png" style="border:none; vertical-align:middle">。此外还有 
 <dl style="margin-top:0.2em; margin-bottom:0.5em"> 
 <dd style="line-height:1.5em; margin-left:1.6em; margin-bottom:0.1em; margin-right:0px"> 
 <img alt=" | m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}. " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/5/6/f/56f5d823c2e7c4628278a8a5aa40a7d1.png" style="border:none; vertical-align:middle"> 
 </dd> 
 </dl> </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>4.</td> 
 <td>矩阵<img alt=" M " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/9/6/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵<img alt=" B>0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/b/7/d/b7d7bc1b10646b5c7ce6cecf4ef86873.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;使得&nbsp;<img alt=" B^2 = M " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/2/6/8264ad10745bba5c0399a299443d33fb.png" style="border:none; vertical-align:middle">。根据其唯一性可以记作<img alt=" B = M^{1/2} " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/5/2/4/524f8ce8a4774354020071f35dd46314.png" style="border:none; vertical-align:middle">，称<img alt=" B" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/d/5/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;为<img alt=" M " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/9/6/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果<img alt=" M > N > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/4/2/d4270b6c8366c62a1bf6013b472ed1ef.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;那么&nbsp;<img alt=" M^{1/2} > N^{1/2}>0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/b/e/a/beaddf2457dfe45f325bde296243f9e6.png" style="border:none; vertical-align:middle">.</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>5.</td> 
 <td>如果<img alt=" M,N > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/a/3/da3e81951dc83ae5986a38e8f17ee5d8.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;那么&nbsp;<img alt=" M\otimes N > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/2/9/f/29fa05b812c5a560aca69fc33be40c63.png" style="border:none; vertical-align:middle">，其中&nbsp;<img alt="\otimes" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/9/d/e9dd9013ec300ceba41484dfc2c9a876.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;表示<a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E7%BE%85%E5%85%A7%E5%85%8B%E4%B9%98%E7%A9%8D" title="克罗内克乘积" style="text-decoration:none; color:rgb(11,0,128)" rel="nofollow">克罗内克乘积</a>。</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>6.</td> 
 <td>对矩阵<img alt=" M=(m_{ij}),N=(n_{ij}) " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/4/a/e4a557c032ba94c3581fb6c3bb32fb32.png" style="border:none; vertical-align:middle">，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为<img alt=" M\circ N " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/2/6/e26eae44eda6925c6e029cd4415fb4bf.png" style="border:none; vertical-align:middle">，即<img alt="M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij} " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/8/b/e8be8da165c17b6e162de5df8f6306db.png" style="border:none; vertical-align:middle">，称为<img alt=" M " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/9/6/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png" style="border:none; vertical-align:middle">与&nbsp;<img alt=" N " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/d/9/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png" style="border:none; vertical-align:middle">的<a href="http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%98%BF%E8%BE%BE%E9%A9%AC%E4%B9%98%E7%A7%AF&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="阿达马乘积（页面不存在）" style="text-decoration:none; color:rgb(165,88,88)" rel="nofollow">阿达马乘积</a>。如果<img alt=" M,N>0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/a/3/da3e81951dc83ae5986a38e8f17ee5d8.png" style="border:none; vertical-align:middle">，那么&nbsp;<img alt=" M\circ N > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/a/0/ea0f3059eaaee404b282279ae4eac698.png" style="border:none; vertical-align:middle">。如果&nbsp;<img alt=" M,N " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/c/3/0/c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;为实系数矩阵，则有如下不等式成立： <img alt=" \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}. " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/9/9/7998e83492c2024eb619c67d64b9b6e1.png" style="border:none; vertical-align:middle; margin:0px"> </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>7.</td> 
 <td>设<img alt=" M > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/b/1/eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png" style="border:none; vertical-align:middle">，<img alt=" N " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/d/9/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;为埃尔米特矩阵。如果<img alt=" MN+NM \geq 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/b/0/9b05d9a276d23ef1e93566e1a2c11aa2.png" style="border:none; vertical-align:middle">（<img alt=" MN+NM > 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/d/c/ddc650cfa4ad6bc9e59e9603871c2521.png" style="border:none; vertical-align:middle">），那么<img alt=" N\geq 0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/c/a/3/ca33321cad320324b30100e79e390593.png" style="border:none; vertical-align:middle">（<img alt=" N > 0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/4/0/e40b53e14e3d3c13fa7bdea5a55d75e1.png" style="border:none; vertical-align:middle">）。</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>8.</td> 
 <td>如果<img alt=" M,N\geq 0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/b/c/c/bcc01c6099b27244873660e02b2542bd.png" style="border:none; vertical-align:middle">为实系数矩阵，则<img alt=" \text{tr}(MN)\geq 0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/c/4/b/c4b603bf0ac147348775e1b681c340af.png" style="border:none; vertical-align:middle">。</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>9.</td> 
 <td>如果<img alt=" M>0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/b/1/eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png" style="border:none; vertical-align:middle">为实系数矩阵，那么存在<img alt=" \delta>0 " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/c/b/1cb24dafc8035d2c720256620066ae73.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;使得<img alt=" M\geq \delta I" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/a/3/5/a355ffce2c66d3d8bf10de8fc77cae06.png" style="border:none; vertical-align:middle">，其中&nbsp;<img alt=" I " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/d/7/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png" style="border:none; vertical-align:middle">&nbsp;为<a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E7%9F%A9%E9%98%B5" title="单位矩阵" style="text-decoration:none; color:rgb(11,0,128)" rel="nofollow">单位矩阵</a>。</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

[Link 1]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E7%9F%A9%E9%99%A3
[Link 2]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%93%E4%B8%94%E4%BB%85%E5%BD%93
[Link 3]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F
[Link 4]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BD%89%E7%BD%AE
[M]: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/9/6/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png
[M _geq 0]: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/8/9/f89fb654deb6a0d6d96573599c6693ea.png
[M _ 0]: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/e/b/1/eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png
[Link 5]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%9B%E5%87%BD%E5%88%86%E6%9E%90
[Link 6]: http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%AD%A3%E7%AE%97%E5%AD%90&action=edit&redlink=1
[N]: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/d/9/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png
[M_geq N]: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/4/7/44760b5724e09ec093d66650dba5e861.png
[M-N _geq 0]: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/7/5/175885c38197f109982d3223506afc97.png
[Link 7]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BA%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB
[M_N]: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/0/e/7/0e76479669516f5bd9ec76380e0d0570.png