【数学建模】15 统计模型的求解方法

墨蓝 2022-12-27 14:19 150阅读 0赞

### 目录 ###

*  1 MATLAB统计计算
 *  2 MATLAB绘图
 *  3 曲线拟合
 *  4 参数估计与假设检验
 *  5 课后习题

# 1 MATLAB统计计算 #

基本计算准则

最大值max
    [y,l] = max(X,[],dim)
    最小值min
    [y,l] = min(X,[],dim)
    向量和
    S = sum(X,dim)
    向量积
    S = prod(X,dim)
    排列
    y = perms(x)
    组合数
    S = nchooosek(n,m)
    平均值
    S = mean(X,dim)
    中值
    S = median(S,dim)
    方差
    y =var(X,dim)
    标准差
    y =std(X,dim)
    相关系数
    y =corrcoef(X)
    协方差
    S =cov(X)
    累计和
    Y = cumsum(X,dim)
    累积积
    Y =cumprod(X,dim)
    从小到大排序
    Y = sort(X,dim)
    按行从小到大排序
    Y = sortrows(X,dim)
    数值范围（最大值和最小值）
    Y = range(X)
    样本偏斜度
    Y =skewness(X)

# 2 MATLAB绘图 #

（1）图形窗口的控制  
在MATLAB中，图形的绘制必须在图形窗中进行  
• firgure或figure(N)  
• clc  
• close  
• hold on(off)  
• subplot(m,n,p)或subplot(nmp)  
（2）二维图形的绘制  
• plot命令：二维图形绘制

plot(y)
    plot(x,y)
    plot(x,y,'s')%s表示线的参数，设置颜色，形状等等
    plot(x1,y1,'s',x2,y2,'s')

• ezplot命令：快捷二维图形绘制

ezplot('f(x)',[a,b])
    ezplot('f(x,y)',[s1,s2,y1,y2])
    ezplot('x(t)','y(t)',[tmin,tmax])

• ploty命令

ploty(x1,y1,x2,y2)

• fplot命令：函数绘图

plot('f(x)',[a,b])

• polar极坐标绘图

polar(theta,rho)
    polar(theta,rho,s)

• 对数坐标轴命令semilogx semilogy loglog

semilogx(...)
    semilogy(...)
    loglog(...)

• 添加标题title

title('string')

• 添加坐标轴标志函数xlabel ylabel zlabel

xlabel('text')
    ylabel('text')
    zlabel('text')

• 设置网格线命令

grid on(off)

• 图形标注函数legend

legend(string1,string2,string3)
    legend off

• 设置坐标轴函数axis

axis([xmin,xmax,ymin,ymax])
    axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
    axis off(on)
    axis('manual')

**举例**

x = linspace(0,2*pi,30);
    y =sin(x);
    z = cos(x);
    plot(x,y,'r',x,z,'go')
    legend('sin(x)','cos(x)')
    title('三角形函数示意图')
    xlable('X')
    ylable('Y')

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

（3）三维图形的绘制

• 绘制三维曲线plot3
    plot3(x,y,z,'s')
    
    • 生成网课函数meshgrid
    [X,Y] = meshgrid(x,y)
    
    • 绘制空间曲面图surf
    surf(X,Y,Z)
    
    • 绘制空间网面图mesh
    mesh(X,Y,Z)
    
    • 绘制平面等值线contour
    contour(X,Y,Z,n)
    
    • 绘制平面流图quiver
    quiver(X,Y,U,V)%X，Y是要画的点。UV分别是x和y的梯度，就是导数

**举例**

[X,Y] =meshgrid(-8:.5:8);
    R = sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;
    Z = sin(R)./R;
    figure
    mesh(Z)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

蓝色越深数据越小  
（3）统计绘图

• 正整数的频率表tabulate
    table = tabulate(X)
    
    • 样本数据的盒图boxplot
    boxplot(X)
    
    • 附加有正态密度曲线的直方图histfit
    histfit(data)
    
    • 直方图hist
    [S,T] = hist(X,n)
    
    • 绘制饼图pie
    pie(X)
    
    • 散点图scatter
    scatter(x,y)

**举例**

x = randn(1000,3);
    hist(x)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

# 3 曲线拟合 #

（1）多项式拟合函数ployfit

[p,S] = ployfit(x,y,n)

（2）线性最小二乘拟合函数lsqlin

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

（3）非线性最小二乘拟合函数lsqcurvefit

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)
    x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)
    x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)

（4）通用拟合函数fit

fitobject =fit(x,y,fitType)
    fitobject =fit([x,y],z,fitType)

**举例**

t = [0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]
    c = [19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]
    plot(t,c,'*')
    p = polyfit(t,c,2)
    t1 = 0.25:0.01:8;
    y = polyval(p,t1);
    hold on
    plot(t1,y)
    hold off

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

# 4 参数估计与假设检验 #

（1）Beta分布的最大似然估计betafit

[p,S] =betafit(x,alpha)

（2）正态分布的参数估计normfit

[mu,sig,mci,sci] = normfit(S,alpha)

（3）二项分布的最大似然估计binofit

[p,S] = binofit(x,n,alpha)

（4）均匀分布的最大似然估计unfit

[a,b,aci,bci] = unfit(x,alpha)

（5）单个正态总体的Z检验法ztest

[h,sig,ci] =ztest(x,m,sigma,alpha)

（6）单个正态总体的t检验法ttest

[h,sig,ci] = ttest(s,m,alpha)

# 5 课后习题 #

随机产生100个整数，绘制出直方图，并用多项式拟合其统计图  
**方法一：用代码去拟合**

clc
    close all;
    x=randi(100,1,100);%随机产生100个整数，并生成1*100
    % 画频率分布直方图
    [counts,centers] = hist(x, 10);
    plot(centers,counts,'*')
    % 多项式拟合
    p = polyfit(centers,counts,5)
    t1 = 0:0.01:100;
    y = polyval(p,t1);
    hold on
    plot(t1,y)
    hold off

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

**方法二：用可视化工具箱拟合**

x=randi(100,1,100);%随机产生100个整数，并生成1*100
    % 画频率分布直方图
    [counts,centers] = hist(x, 10);
    figure
    bar(centers, counts )
    cftool

直方图  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

（1）Xdata 为counts，Ydata为centers，Degree为3。欠拟合状态  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

（2）Xdata 为counts，Ydata为centers，Degree为5。可能拟合最佳  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

（3）Xdata 为counts，Ydata为centers，Degree为9。过拟合状态  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221120/cf30eae06ddf4308b10f09b9bcca8195.png
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