数字图像学笔记——5. 直方图变换、局部变换、灰度分级、比特分层

深碍√TFBOYSˉ_ 2022-12-24 15:50 217阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  分段函数（Piecewise Functions）
 *  分段线性变化函数（Piecewise Transformation Function）
 *   *  局部对比度拉伸（Contrast Stretching）
     *  灰度级分层（Intensity-level slicing）
     *  比特面分层（Bit-plane slicing）
 *  采样函数（Sampling Functions）

# 分段函数（Piecewise Functions） #

在前一章[《\[数字图像学笔记\] 4.直方图变换1》][4._1]中所提到几种针对直方图的变化方法，基本上都是针对  \[ 0 , 255 \] \[0, 255\] \[0,255\] 全部灰度值的变化，然后我们在实际的使用中也许并不需要对全部的灰度值进行变化，比如我们只想调整其中一部分的强度，或者只显示其中的一部分。

那么这种方法就是分段线性变化，有的地方也称为分段滤波函数，或者直接称呼它的数学定义**分段函数**。依据我们小学知道的数学定义，分段函数可以有多个不同的函数组成。

所以写成公式的话，就表示成如下的样子：

f ( X ) = \{ F 1 ( x 0 ) 0 ≤ x 0 < I 0 F 2 ( x 1 ) I 0 ≤ x 1 < I 1 ⋯ ⋯ F n ( x n ) I n ≤ x n ≤ 255 f(X) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} F\_1 \\left ( x\_0 \\right ) & 0 \\leq x\_0 < I\_0 \\\\ F\_2 \\left ( x\_1 \\right ) & I\_0 \\leq x\_1 < I\_1 \\\\ \\cdots & \\cdots \\\\ F\_n \\left ( x\_n \\right ) & I\_n \\leq x\_n \\leq 255 \\end\{matrix\}\\right. f(X)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧F1(x0)F2(x1)⋯Fn(xn)0≤x0<I0I0≤x1<I1⋯In≤xn≤255

# 分段线性变化函数（Piecewise Transformation Function） #

## 局部对比度拉伸（Contrast Stretching） ##

在冈萨雷斯的教材里，提到了第一个简单的Sample，好像是把花粉还是种子的图片进行对比度拉伸。原图是一张对比度非常低的图片，很多图片中的细节看不清楚，因此我们使用一个简单的分段函数，对原图进行对比度拉伸。

f ( X ) = \{ 0.25 ∗ x 0 ≤ x < 90 1.25 ∗ x 90 ≤ x < 160 0.25 ∗ x 160 ≤ x n ≤ 255 f(X) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0.25 \* x & 0 \\leq x < 90 \\\\ 1.25 \* x & 90 \\leq x < 160 \\\\ 0.25 \* x & 160 \\leq x\_n \\leq 255 \\end\{matrix\}\\right. f(X)=⎩⎨⎧0.25∗x1.25∗x0.25∗x0≤x<9090≤x<160160≤xn≤255

def piecewise_transformation(image):
        row, col, shape = image.shape
        out_img = np.zeros((row, col))
    
        # image conversion
        for r in range(row):
            for l in range(col):
                val = image[r, l, 0]
                if val < 90:
                    out_img[r, l] = val * 0.25
                elif 90 <= val < 160:
                    out_img[r, l] = val * 1.25
                else:
                    out_img[r, l] = val * 0.25
    
        return out_img

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
通过拉伸以后，我们还可以发现很多细节，但是如果想进一步拉伸对比度，由于原图中细节已经缺失很多，所以已经不太可能得到更多的细节了。

## 灰度级分层（Intensity-level slicing） ##

说到底这个方法也是分段线性函数的一种变形形式，也就是把我们感兴趣的灰度范围高亮、增强，把不喜欢的隐藏掉或者降低它的强度值。

假设，比如对于分段函数来说，我们令范围  \[ 0 , I 0 \] \[0, I\_0\] \[0,I0\] 和  F m ∈ \[ I m , I n \] F\_m \\in \[I\_m, I\_n\] Fm∈\[Im,In\] 及  \[ I n , 255 \] \[I\_n, 255\] \[In,255\] 为0，也就是强调其中的 \[ I m − 1 , I m \] \[I\_\{m-1\}, I\_m\] \[Im−1,Im\]这一段，以上的分段函数就可以写作：

f ( X ) = \{ F 1 ( x 0 ) = 0 0 ≤ x 0 < I 0 ⋯ F m − 1 ( x m ) = f m I m − 1 ≤ x m − 1 < I m ⋯ F n ( x n ) = 0 I n ≤ x n ≤ 255 f(X) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} F\_1 \\left ( x\_0 \\right ) = 0 & 0 \\leq x\_0 < I\_0 \\\\ \\cdots \\\\ F\_\{m-1\} \\left ( x\_m \\right ) = f\_m & I\_\{m-1\} \\leq x\_\{m-1\} < I\_m \\\\ \\cdots \\\\ F\_n \\left ( x\_n \\right ) = 0 & I\_n \\leq x\_n \\leq 255 \\end\{matrix\}\\right. f(X)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧F1(x0)=0⋯Fm−1(xm)=fm⋯Fn(xn)=00≤x0<I0Im−1≤xm−1<ImIn≤xn≤255

当然也可以只增强兴趣区域的值，所以你能看到两个不同的分段增强函数的映射曲线，这里我就不写代码示例了，其实实现方法和上面的那个拉伸方法是相似的。

## 比特面分层（Bit-plane slicing） ##

这个简单的说一下，主要是用于图像压缩的一种方法。对于一个灰度像素，它的数字通常是由8个比特组成的，你可以想象是由包含8个比特的数字组成的：

\[ ( 2 7 ) n 7 , ( 2 6 ) n 6 , ( 2 5 ) n 5 , ( 2 4 ) n 4 , ( 2 3 ) n 3 , ( 2 2 ) n 2 , ( 2 1 ) n 1 , ( 2 0 ) n 0 \] \[(2^7)n\_7, (2^6)n\_6, (2^5)n\_5, (2^4)n\_4, (2^3)n\_3, (2^2)n\_2, (2^1)n\_1, (2^0)n\_0 \] \[(27)n7,(26)n6,(25)n5,(24)n4,(23)n3,(22)n2,(21)n1,(20)n0\]

其中的  n n n 表示的是一个数位开关，它只有开合两种状态，因此对于一个在 \[ 0 , 255 \] \[0, 255\] \[0,255\]范围的数来说，就有8个比特位，如果我们完整的记录一个比特数，从存储空间上来说，就需要记录8个开关的状态，比如\[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1\]。

对一个灰度的还原方法因此就成了这样

P = ( 2 7 ) n 7 + ( 2 6 ) n 6 + ( 2 5 ) n 5 + ( 2 4 ) n 4 + ( 2 3 ) n 3 + ( 2 2 ) n 2 + ( 2 1 ) n 1 + ( 2 0 ) n 0 P = (2^7)n\_7 + (2^6)n\_6 + (2^5)n\_5+ (2^4)n\_4 + (2^3)n\_3 + (2^2)n\_2 + (2^1)n\_1 + (2^0)n\_0 P=(27)n7\+(26)n6\+(25)n5\+(24)n4\+(23)n3\+(22)n2\+(21)n1\+(20)n0

实际上对于一张图片来说，它有时候保留的有效开关信息其实很少，比如说一张天空的照片，它的有效像素信息可能几种在  ( n 0 , n 1 , n 4 ) (n\_0, n\_1, n\_4) (n0,n1,n4)，而在 n 7 n\_7 n7有少量信息，而其他位上则基本没有信息。如果为了获得最大压缩率，那么其实我们就可以只保留 ( n 0 , n 1 , n 4 ) (n\_0, n\_1, n\_4) (n0,n1,n4)这三个开关的信息，为了更好的说明，我这里用矩阵表示一下这个过程：

I = \[ n 3 n 2 n 1 n 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 \] I = \\begin\{bmatrix\} n\_3 & n\_2 & n\_1 & n\_0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\end\{bmatrix\} I=⎣⎢⎢⎢⎢⎡n30000n20110n11011n01111⎦⎥⎥⎥⎥⎤

例如以上的矩阵，一共有4个点， n 3 n\_3 n3 由于没有数据，所以在对数据进行分层的时候，我们就可以把这一层舍弃，而不损失任何精度和细节。如果我们只保留 n 1 n\_1 n1和 n 0 n\_0 n0两层比特层，如果在保留一定的细节情况下，那么就可以在理论上把数据压缩一半：

I = \[ n 1 n 0 1 1 0 1 1 1 1 1 \] I = \\begin\{bmatrix\} n\_1 & n\_0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \\end\{bmatrix\} I=⎣⎢⎢⎢⎢⎡n11011n01111⎦⎥⎥⎥⎥⎤

对于高级语言来说，要把某个数转化位比特，通常需要**与运算(and operation)**，具体这里就不实现了。

# 采样函数（Sampling Functions） #

从上面的这些例子中，我们发现，能够对于原图像的灰度图的修改，很大程度上用到了某种函数，无论是拉伸，还是其他，我们都是通过  I o = I i ⨀ f s I\_o = I\_i \\bigodot f\_s Io=Ii⨀fs 这样一种形式进行的扩展。这个式子中的 f s f\_s fs 就是采样函数。

⨀ \\bigodot ⨀ 在这里，我们不明确指明原始数据与采样函数的计算方式，它可以是点乘，可以是矩阵乘，也可以是卷积，甚至就像上面介绍的这些分段函数一样，或者单纯的加一些常数。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

例如对于原始数据，在图中表示红色曲线的部分，其采样函数 f s f\_s fs为正态分布曲线，数学上写作：

f s = 1 2 π δ 2 e ( − ( x − μ ) 2 2 δ 2 ) f\_s = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi \\delta^2\}\}e(-\\frac\{(x-\\mu)^2\}\{2\\delta^2\}) fs=2πδ21e(−2δ2(x−μ)2)

那么对于这样一个数据，当 ⨀ \\bigodot ⨀表示为元素乘的时候，采样函数为正态分布，每一个像素点的新输出的计算方式即：  
 I 1 ′ = I 1 ⋅ f s ( P 1 ) I 2 ′ = I 2 ⋅ f s ( P 2 ) ⋯ I n ′ = I n ⋅ f s ( P n ) \{I\_1\}'= I\_1 \\cdot f\_s(P\_1) \\\\ \{I\_2\}'= I\_2 \\cdot f\_s(P\_2) \\\\ \\cdots \\\\ \{I\_n\}'= I\_n \\cdot f\_s(P\_n) \\\\ I1′=I1⋅fs(P1)I2′=I2⋅fs(P2)⋯In′=In⋅fs(Pn)

采样函数通常可以用于图像去噪，或者增强某一些兴趣区间（ROI：region of interest），有时候我们会在一个应用中使用多种采样函数，而不仅仅是其中一种，以获得我们想要的数据。当然这部分属于比较高级的内容了，我会在后面进行介绍。

人比较懒，我就不太想实现对图像的直方图用这个正态分布采样后，会得到什么的效果。如果你刚刚接触这一部分内容不妨挑战一下自己，当作作业。上一篇文章加上这篇文章介绍的，包括我所展示的代码，你能花费大概不超过一个小时的时间，体会一下采样函数的神奇之处。

为了验证你的采样函数是否正常，你可以把原图像的直方图，和采样后得到的新的直方图都绘制出来，进行比对。

[4._1]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/110204387
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221120/2315d810d4484665863d1bd11805113a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201207222337554.jpg?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center