Modern Robotics:机器人的构型空间

本是古典何须时尚 2022-12-15 14:29 283阅读 0赞

# Modern Robotics机器人的构型空间 #

**机器人的构型（configuration）是一个机器人所有点的位置。描述机器人构型的最小实数坐标的个数n是机器人的自由度**的数目。这个n维空间包括着机器人所有可能的构型（configurations）称为机器人的构型空间（configuration space，C-space）。机器人的构型可以由它的构型空间里的一个点描述。

## 机器人的自由度 ##

机器人常见的关节如下图所示

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

旋转关节(revolute joint,R)，平移关节（prismatic joint,P），螺旋关节（Helical joint,H）都是只有一个自由度。关节也可以有多个自由度，例如圆柱关节(cylindrical joint ,C)有两个自由度，万向节（Universal joint,U）有两个自由度，球形关节（spherical joint，S）有三个关节，其功能与人体的肩关节很像。

##  G r u ¨ b l e r ′ s Gr\\ddot \{\\text u\}bler's Gru¨bler′s公式 ##

考察一个又 N N N个连杆构成的机械系统，地面也看做一个连杆。假设 J J J是关节的数量， m m m是刚体的自由度（对于平面刚体 m = 3 m=3 m=3，对于空间刚体 m = 6 m=6 m=6）， f i f\_i fi为第 i i i个关节具有的自由度数目， c i c\_i ci是第 i i i个关节具有的约束数目，这里对所有 i i i都有 f i + c i = m f\_i+c\_i=m fi\+ci=m。那么 G r u ¨ b l e r ′ s Gr\\ddot \{\\text u\}bler's Gru¨bler′s计算机器人的自由度数目为  
 d o f = m ( N − 1 ) − ∑ i = 1 J c i = m ( N − 1 ) − ∑ i = 1 J ( m − f i ) = m ( N − 1 − J ) + ∑ i = 1 J f i (2.4) dof=m(N-1)-\\sum\_\{i=1\}^J c\_i\\\\ =m(N-1)-\\sum\_\{i=1\}^J (m-f\_i)\\\\ =m(N-1-J)+\\sum\_\{i=1\}^J f\_i \\tag\{2.4\} dof=m(N−1)−i=1∑Jci=m(N−1)−i=1∑J(m−fi)=m(N−1−J)\+i=1∑Jfi(2.4)

这个公式成立的条件是所有的关节约束是独立的。

下面是计算该公式的C语言模块。

/** *@brief Description:使用GrublersFormula公式计算机构的自由度. *@param[in] N 连杆的数目（包括大地）. *@param[in] m 连杆(刚体)的自由度（平面刚体m=3,空间刚体m=6）. *@param[in] J 关节的数量. *@param[in] f 数组，每个关节的自由度. *@return 返回输入该机构的自由度. *@note: 各个关节的约束是独立的才能使用该函数计算机构的自由度. *@waring: */
    int GrublersFormula(int m, int N, int J, int *f)
    { 
    	int i;
    	int dof;
    	int c = 0;
    	for (i=1;i<=J;i++)
    	{ 
    		//计算自由度的约束
    		c = c + f[i-1];
    	}
    	dof = m*(N - 1 - J) + c;
    	return dof;
    }

Example 2.4使用 G r u ¨ b l e r ′ s Gr\\ddot \{\\text u\}bler's Gru¨bler′s公式计算下面的平面机构自由度

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

这些连杆是平面刚体，因此m=3

(a)  d o f = 3 ∗ ( 5 − 1 − 4 ) + 4 = 4 dof=3\*(5-1-4)+4=4 dof=3∗(5−1−4)\+4=4

(b) d o f = 3 ∗ ( 5 − 1 − 5 ) + 5 = 2 dof=3\*(5-1-5)+5=2 dof=3∗(5−1−5)\+5=2

(d) d o f = 3 ∗ ( 6 − 1 − 7 ) + 7 = 1 dof=3\*(6-1-7)+7=1 dof=3∗(6−1−7)\+7=1

Example2.5 计算如下图有重叠关节的平面机构自由度。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

大连杆左端三个连杆连接于一点，可以各自转动。关节的定义为两个连杆的连接，因此这不能算作一个关节，而是两个关节。因此自由度为  
 d o f = 3 ∗ ( 8 − 1 − 9 ) + 9 = 3 dof=3\*(8-1-9)+9=3 dof=3∗(8−1−9)\+9=3

## 构型空间拓扑 ##

一个点在球面上运动，这个点的构型空间(C-space)是2维的，因为可以用两个坐标表示，纬度和经度。一个点在平面上运动，具有一个2维构型空间(C-space)，有坐标(x,y)。一个平面和一个球面都是2维，但是它们的形状不同，平面无限延伸，而球面互相连在一起。一个椭圆的美国足球与球面有类似的形状，它们具有相等的拓扑。例如一条线段可以把它弯曲成一个开口的半圆，一个开口的半圆也可以直为一条线段，因此它们由相等的拓扑结构。不那么严格地，如果一个空间可以不进行粘合或剪切，通过连续变形得到另一个空间，我们说这两个空间具有相等的拓扑。

圆数学上写为 S S S或$ S^1 ， 是 1 维 “ 球 ” ， 直 线 写 为 ，是1维“球”，直线写为 ，是1维“球”，直线写为\\mathbb E 或 或 或\\mathbb E^1 ， 意 味 1 维 欧 拉 空 间 ， 因 为 一 个 点 在 ，意味1维欧拉空间，因为一个点在 ，意味1维欧拉空间，因为一个点在\\mathbb E^1 上 可 以 写 成 一 个 实 数 ， 因 此 通 常 写 为 上可以写成一个实数，因此通常写为 上可以写成一个实数，因此通常写为\\mathbb R 或 或 或\\mathbb R^1$。

拓扑是空间的属性，与我们选择则怎样的坐标来描述是无关的。例如一个圆，确定一个零角度后，可以选择一个角度 θ \\theta θ来描述，也可以在圆心建立一个坐标系，用坐标(x,y)和约束 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2\+y2=1.无论选择怎样的坐标来描述，该空间没有发生改变。

一些C-space可以表示成两个或多个低维的笛卡尔积。例如一个平面刚体的C-space可以写成 R 2 × S 1 \\mathbb R^2\\times S^1 R2×S1,因为其构型可以用坐标(x,y)表示 R 2 \\mathbb R^2 R2，一个角度 θ \\theta θ表示 S 1 S^1 S1,这两个坐标串在一起表示刚体构型。

## 构型空间表示 ##

如下图是四个拓扑不同的二维C-space及表示

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

选择 n n n个坐标或参数表示一个 n n n维空间叫做空间的**显式参数化**。

使用纬度和经度两个坐标表示球面，在两个极点会出现奇异。解决奇异的方法有：

*  使用多个坐标图表示该空间。每个坐标图只是空间一部分的显式参数化，在每个坐标图都没有奇异性。多个坐标图重叠覆盖要表示的空间，当在某个坐标图出现奇异时，切换到另一个坐标图表示。
 *  使用隐式表示而不是显式参数化。一个隐式表示把 n n n维空间看成是内含与大于n维的空间的欧拉空间。例如2维球面可以看成是包含于3维欧拉空间的一个面。一个隐式表示使用的坐标数高于该空间的维度，当需要约束冗余的自由度。例如使用 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)和一个约束 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x^2+y^2+z^2=1 x2\+y2\+z2=1表示单位球面。

在机器人学里通常使用隐式表示，例如使用9个数值，6个约束，表示刚体在空间的3个方向自由度，该表示称**旋转矩阵**.

## 构型和速度约束 ##

一般的机器人包含一个或多个闭环，构型空间可以通过一个列向量 θ = \[ θ 1 , . . . , θ 2 \] T ∈ R 2 \\mathbf \\theta=\[\\theta \_1,...,\\theta\_2\]^T\\in\\mathbb R^2 θ=\[θ1,...,θ2\]T∈R2和闭环方程隐式表示  
 g ( θ ) = \[ g 1 ( θ 1 , . . . , θ n ) ⋮ g k ( θ 1 , . . . , θ n ) \] = 0 , (2.5) g(\\mathbf \\theta)= \\left \[ \\begin\{matrix\} g\_1(\\theta\_1,...,\\theta\_n)\\\\ \\vdots\\\\ g\_k(\\theta\_1,...,\\theta\_n)\\\\ \\end\{matrix\}\\right\] =0,\\tag\{2.5\} g(θ)=⎣⎢⎡g1(θ1,...,θn)⋮gk(θ1,...,θn)⎦⎥⎤=0,(2.5)  
闭环方程是 k k k个独立的方程， k ≤ n k\\le n k≤n.这样的约束称为完整约束（holomomic contraints）.C-space可以看成一个包含于 R n \\mathbb R^n Rn中的 n − k n-k n−k维的面.

假设 θ \\theta θ是关于时间的轨迹，两边求导有  
 d d t g ( θ ( t ) ) = 0 (2.6) \\frac\{d\}\{dt\}g(\\mathbf \\theta (t))=0\\tag\{2.6\} dtdg(θ(t))=0(2.6)  
因此  
 \[ ∂ g 1 ( θ ) ∂ θ 1 θ ˙ 1 + . . . + ∂ g 1 ( θ ) ∂ θ n θ ˙ n ⋮ ∂ g k ( θ ) ∂ θ 1 θ ˙ 1 + . . . + ∂ g k ( θ ) ∂ θ n θ ˙ n \] = 0 \\left \[ \\begin\{matrix\} \\frac\{\\partial g\_1 (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_1\}\\dot \\theta \_1+...+\\frac\{\\partial g\_1 (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_n\}\\dot \\theta \_n\\\\ \\vdots\\\\ \\frac\{\\partial g\_k (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_1\}\\dot \\theta \_1+...+\\frac\{\\partial g\_k (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_n\}\\dot \\theta \_n\\\\ \\end\{matrix\}\\right\] =0 ⎣⎢⎢⎡∂θ1∂g1(θ)θ˙1\+...\+∂θn∂g1(θ)θ˙n⋮∂θ1∂gk(θ)θ˙1\+...\+∂θn∂gk(θ)θ˙n⎦⎥⎥⎤=0  
即  
 \[ ∂ g 1 ( θ ) ∂ θ 1 θ ˙ 1 … ∂ g 1 ( θ ) ∂ θ n θ ˙ n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ g k ( θ ) ∂ θ 1 θ ˙ 1 … ∂ g k ( θ ) ∂ θ n θ ˙ n \] \[ θ ˙ 1 ⋮ θ ˙ n \] = 0 \\left \[ \\begin\{matrix\} \\frac\{\\partial g\_1 (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_1\}\\dot \\theta \_1& \\dots & \\frac\{\\partial g\_1 (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_n\}\\dot \\theta \_n \\\\ \\vdots & \\ddots &\\vdots \\\\ \\frac\{\\partial g\_k (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_1\}\\dot \\theta \_1& \\dots & \\frac\{\\partial g\_k (\\theta)\}\{\\partial \\theta \_n\}\\dot \\theta \_n\\\\ \\end\{matrix\}\\right\] \\left \[ \\begin\{matrix\} \\dot \\theta\_1\\\\ \\vdots \\\\ \\dot \\theta\_n\\\\ \\end\{matrix\}\\right\] =0 ⎣⎢⎢⎡∂θ1∂g1(θ)θ˙1⋮∂θ1∂gk(θ)θ˙1…⋱…∂θn∂g1(θ)θ˙n⋮∂θn∂gk(θ)θ˙n⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎡θ˙1⋮θ˙n⎦⎥⎤=0  
可以继续写成  
 ∂ g ( θ ) ∂ θ θ ˙ = 0 (2.7) \\frac\{\\partial g(\\theta)\}\{\\partial \\theta\}\\dot \\theta=0\\tag\{2.7\} ∂θ∂g(θ)θ˙=0(2.7)  
这里 ∂ g ( θ ) ∂ θ ∈ R k × n \\frac\{\\partial g(\\theta)\}\{\\partial \\theta\}\\in\\mathbb R^\{k\\times n\} ∂θ∂g(θ)∈Rk×n， θ , θ ˙ ∈ R n \\theta,\\dot \{\\theta\}\\in \\mathbb R^n θ,θ˙∈Rn,又可以写成  
 A ( θ ) θ ˙ = 0 (2.8) A(\\mathbf \\theta)\\dot \\theta=0 \\tag\{2.8\} A(θ)θ˙=0(2.8)  
这里 A ( θ ) ∈ R k × n A(\\theta)\\in\\mathbb R^\{k\\times n\} A(θ)∈Rk×n.速度的这种约束形式称为Pfaffian约束。 g ( θ ) g(\\theta) g(θ)可以由 A ( θ ) A(\\theta) A(θ)积分得到，因此完整约束 g ( θ ) g(\\theta) g(θ)又称为积分约束–速度约束可以积分得到构型约束。对于不能通过速度约束积分得到构型约束的Pfaffian约束称为非完整约束.

## 任务空间和工作空间 ##

机器人的任务空间是机器人任务自然表达的一个空间（与机器人的构型空间无关）。机器人的工作空间是机器人末端能够到达的构型。

## 小结 ##

*  一个机器人由一系列关节连接的连杆构成。连杆通常建模为刚体。末端执行器，例如抓手常常会固定到机器人的连杆上。驱动器传递力或扭矩给关节，驱动机器人运动。
 *  最常用的单自由度关节是旋转关节，可以绕关节轴线转动，以及平移关节，可以沿关节轴线平移。圆柱关节有两个自由度，由一个旋转关节和移动关节串联组成，万向节由两个正交的旋转关节组成，球形关节有三个自由度，其功能与人的肩关节相似。
 *  一个刚体的构型其所有点的位置。在平面运动的刚体，需要3个独立参数表示其构型。在空间运动的刚体需要6个参数表示其构型。
 *  一个机器人的构型是其所有连杆的构型。机器人的构型空间是其一系列所有可能的构型。机器人构型空间的维数是其自由度数目。
 *  机器人自由度数目可以通过 G r u ¨ b l e r ′ s Gr\\ddot ubler's Gru¨bler′s公式计算

dof = m ( N − 1 − J ) + ∑ i = 1 J f i \\text \{dof\}=m(N-1-J)+\\sum \_\{i=1\}^J f\_i dof=m(N−1−J)\+i=1∑Jfi

对于平面机构 m = 3 m=3 m=3，空间机构 m = 6 m=6 m=6， N N N是连杆的数目（包括地面连杆）， J J J是关节数目， f i f\_i fi是第 i i i个关节的自由度数目。如果关节的约束不是相互独立， G r u ¨ b l e r ′ s Gr\\ddot ubler's Gru¨bler′s提供的是自由度数目的一个下界。

*  机器人的C-space可以显式参数化或隐式参数化。对于 n n n个自由度的机器人，显示参数化至少使用 n n n个坐标，隐式表示则需要 m m m个坐标， m ≥ n m\\ge n m≥n，这 m m m个坐标受 m − n m-n m−n个约束方程约束。使用隐式表示，机器人的C-space可以看做是包含于高维数的 m m m维空间的一个 n n n维表面。
 *   n n n个自由度的机器人的C-space，结构的一个或多个闭环约束，可以隐式地使用 k k k个闭环方程表示，其形如 g ( θ ) = 0 g(\\theta)=0 g(θ)=0, θ ∈ R m \\theta \\in\\mathbb R^m θ∈Rm,且 g : R m → R k g:\\mathbb R^m\\to \\mathbb R^k g:Rm→Rk。这样的约束方程称为完整约束。假设 θ \\theta θ随时间 t t t变化，完整约束 g ( θ ( t ) ) g(\\theta(t)) g(θ(t))对 t t t微分得到

∂ g ( θ ) ∂ θ θ ˙ = 0 , \\frac\{\\partial g(\\theta)\}\{\\partial \\theta\}\\dot \\theta=0, ∂θ∂g(θ)θ˙=0,

这里 ∂ g ( θ ) / ∂ θ \\partial g(\\theta)/\\partial \\theta ∂g(θ)/∂θ是 k × m k\\times m k×m的矩阵。

*  机器人的运动可以通过速度约束的形式表示

A ( θ ) θ ˙ = 0 , A(\\theta)\\dot \\theta =0, A(θ)θ˙=0,

这 A ( θ ) A(\\theta) A(θ)是 k × m k\\times m k×m矩阵，不能表示为某个函数 g ( θ ) g(\\theta) g(θ)的导数，即不存在a任何的 g ( θ ) , g : R m → R k g(\\theta),g:\\mathbb R^m \\to R^k g(θ),g:Rm→Rk,使得  
 A ( θ ) = ∂ g ( θ ) ∂ θ . A(\\theta)=\\frac\{\\partial g(\\theta)\}\{\\partial \\theta\}. A(θ)=∂θ∂g(θ).  
这样的约束称为非完整约束，或不可积约束。这些约束减少可行速度的维度，单数不会减少可达C-space的维度。在动量守恒或滚动而不滑动的机器人系统中会出现非完整约束。

*  机器人的任务空间是机器人任务自然表达的一个空间（与机器人的构型空间无关）。机器人的工作空间是机器人末端能够到达的构型。

参考文献

Kenvin M. Lynch , Frank C. Park, Modern Robotics Mechanics,Planning , and Control. May 3, 2017

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