离散函数的数字特征及其R语言的应用

心已赠人 2022-11-16 15:25 147阅读 0赞

### 目录 ###

*  0引言
 *   *  本文结构
     *  理论公式
 *  1、几何分布
 *  2、负二项分布
 *  3、帕斯卡分布
 *  4、泊松分布
 *  5、 参考链接

# 0引言 #

## 本文结构 ##

在文章统计学基础——负二项分布的数字特征1中介绍了负二项分布，在博客2中介绍了离散分布的数字特征。  
本文计算一些离散分布的：密度函数、分布函数、均值、方差、偏度、峰度、特征函数、矩母函数

## 理论公式 ##

为了方便先给出计算公式：

– 密度函数: f ( x ) f(x) f(x)

– 分布函数： F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x F(x) = \\int\_\{- \\infty \}^x f(x)dx F(x)=∫−∞xf(x)dx

– 期望： E ( X ) = k 1 E(X) = k\_\{1\} E(X)=k1

– 方差： D ( X ) = k 2 − k 1 2 D(X) = k\_\{2\}-k\_\{1\}^2 D(X)=k2−k12

– 特征函数： φ ( t ) = E ( e i t X ) \\varphi(t) = E(e^\{itX\}) φ(t)=E(eitX)

– 矩母函数： M ( t ) = E ( e t X ) M(t) = E(e^\{tX\}) M(t)=E(etX)

– 中心矩的关系： E ( X k ) = i − k φ ( k ) ( 0 ) = M ( k ) ( 0 ) E(X^k) = i^\{-k\}\\varphi^\{(k)\}(0) = M^\{(k)\}(0) E(Xk)=i−kφ(k)(0)=M(k)(0)

– 偏度： S k e w ( X ) = k 3 k 2 3 / 2 Skew(X) = \\frac\{k\_\{3\}\}\{k\_\{2\}^\{3/2\}\} Skew(X)=k23/2k33

– 峰度： k u r t ( X ) = k 4 k 2 2 kurt(X) = \\frac\{k\_\{4\}\}\{k\_\{2\}^\{2\}\} kurt(X)=k22k44

# 1、几何分布 #

– 密度函数: f ( x ) = ( 1 − p ) ( x − 1 ) p , f(x) = (1-p)^\{(x-1)\}p, f(x)=(1−p)(x−1)p,  x = 1 , 2 , 3 , . . . . . . x = 1,2,3, ... ... x=1,2,3,......

– 分布函数： F ( x ) = ∑ k = 1 x f ( k ) = 1 − ( 1 − p ) x F(x) = \\sum\_\{k=1\}^x f(k) = 1 - (1-p)^x F(x)=∑k=1xf(k)=1−(1−p)x

– 期望： E ( X ) = ∑ k = 1 x k f ( k ) = 1 p E(X) = \\sum\_\{k=1\}^x kf(k) = \\frac\{1\}\{p\} E(X)=∑k=1xkf(k)=p1

– 方差： D ( X ) = ∑ k = 1 x k 2 f ( k ) − E ( X ) 2 = 1 − p p 2 D(X) = \\sum\_\{k=1\}^x k^2f(k) -E(X)^2= \\frac\{1-p\}\{p^2\} D(X)=∑k=1xk2f(k)−E(X)2=p21−p

– 矩母函数： M ( t ) = p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t M(t) = \\frac\{pe^\{it\}\}\{1-(1-p)e^\{it\}\} M(t)=1−(1−p)eitpeit

– 偏度： S k e w ( X ) = 2 ( 1 − p ) 1 / 2 Skew(X) = 2(1-p)^\{1/2\} Skew(X)=2(1−p)1/2

– 峰度： k u r t ( X ) = 9 − 6 p kurt(X) = 9-6p kurt(X)=9−6p

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>函数</th> 
   <th>功能</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>dgeom(x, prob, log = FALSE)</td> 
   <td>概率密度</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>pgeom(q, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)</td> 
   <td>累计密度</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>qgeom(p, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)</td> 
   <td>分位数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>rgeom(n, prob)</td> 
   <td>随机数</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

几何分布的各中心距来自5：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NjExMTgxNA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

# 2、负二项分布 #

– 矩母函数： M ( t ) = ( 1 − p ) r ( 1 − p e t ) − r M(t) = (1-p)^r(1-pe^t)^\{-r\} M(t)=(1−p)r(1−pet)−r

– 偏度： S k e w ( X ) = n 3 + 3 n 2 + 2 n − ( 3 n 2 + 3 n ) p + n p 2 ( n 2 + n ( 1 − p ) ) 3 / 2 Skew(X) = \\frac\{n^3+3n^2+2n-(3n^2+3n)p+np^2\}\{(n^2+n(1-p))^\{3/2\}\} Skew(X)=(n2\+n(1−p))3/2n3\+3n2\+2n−(3n2\+3n)p\+np2

– 峰度： k u r t ( X ) = 略 kurt(X) = 略 kurt(X)=略 （带入递推公式自行运算）

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>函数</th> 
   <th>功能</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)</td> 
   <td>概率密度</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)</td> 
   <td>累计密度</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>qnbinom (p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)</td> 
   <td>分位数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>rnbinom(n, size, prob, mu)</td> 
   <td>随机数</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

负二项分布的递推公式如下：6

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NjExMTgxNA_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NjExMTgxNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

# 3、帕斯卡分布 #

X X X服从 r , θ r,\\theta r,θ的负二项分布， Y Y Y服从 r , θ r,\\theta r,θ的帕斯卡分布。有 Y = X + r Y = X +r Y=X\+r。即：在同样的实验中，帕斯卡分布是成功 r r r次后实验（成功+失败）的次数，负二项分布是成功 r r r次后失败的次数。负二项分布的数字特征推到见博文1。故帕斯卡分布的数字特征可以由负二项分布推出。  
在R语言中我们仍可以使用下面负二项分布的函数做适当调整生成帕斯卡分布。  
注：在百度百科7中还有另一种说法是:

> 帕斯卡分布，负二项分布的正整数形式，描述第n次成功发生在第x次的概率。

我们在课本中见的比较多的是负二项分布的整数形式，这时候课本会标注又称帕斯卡分布，类似于二项分布，负二项分布也可以推广到实数上去定义。大家感兴趣有的可以去自己找资料文献考察一下，这里就不过多的讨论其定义和数字特征的问题了。

# 4、泊松分布 #

– 矩母函数： M ( t ) = e λ ( e t − 1 ) M(t) = e^\{\\lambda(e^t-1)\} M(t)=eλ(et−1)

– 偏度： S k e w ( X ) = λ 3 + 3 λ 2 + λ ( λ 2 + λ ) 3 / 2 Skew(X) = \\frac\{\\lambda^3+3\\lambda^2+\\lambda\}\{(\\lambda^2+\\lambda)^\{3/2\}\} Skew(X)=(λ2\+λ)3/2λ3\+3λ2\+λ

– 峰度： k u r t ( X ) = λ 3 + 6 λ 2 + 7 λ + 1 λ ( λ + 1 ) 2 kurt(X) = \\frac\{\\lambda^3+6\\lambda^2+7\\lambda+1\}\{\\lambda(\\lambda+1)^2\} kurt(X)=λ(λ\+1)2λ3\+6λ2\+7λ\+1

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>函数</th> 
   <th>功能</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>dpois(x, lambda, log = FALSE)</td> 
   <td>概率密度</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)</td> 
   <td>累计密度</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)</td> 
   <td>分位数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>rpois(n, lambda)</td> 
   <td>随机数</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

中心矩的递推公式来自8：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NjExMTgxNA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

# 5、 参考链接 #

--------------------

1.  https://blog.csdn.net/weixin\_46111814/article/details/105243202 ↩︎ ↩︎
2.  https://blog.csdn.net/weixin\_44602958/article/details/105261188 ↩︎
3.  https://blog.csdn.net/STcyclone/article/details/84310450 ↩︎
4.  https://baike.baidu.com/item/%E5%81%8F%E5%BA%A6 ↩︎
5.  https://max.book118.com/html/2019/0412/6234220152002022.shtm ↩︎
6.  朱成莲.关于负二项分布高阶矩的教学注记\[J\].高教学刊,2017,No.66,103-104+107. ↩︎
7.  https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%95%E6%96%AF%E5%8D%A1%E5%88%86%E5%B8%83/1188907 ↩︎
8.  https://wenku.baidu.com/view/7f8328c10c22590102029d83.html ↩︎

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