偏态分布及其数字特征（R语言可视化）

你的名字 2022-11-18 01:58 251阅读 0赞

### 目录 ###

*  0引言
 *  1、偏态分布的定义
 *   *  1.1正态分布
     *  1.2偏态分布
 *  2、偏态分布的数字特征
 *   *  2.1均值
     *  2.2方差
 *  3、不同偏态的偏态分布——R语言
 *   *  3.1 代码
     *  3.2不同lambda的偏态分布图
 *  参考文献

# 0引言 #

偏态分布是A. Azzalini1在1985年提出的，本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义，主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导，以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。

# 1、偏态分布的定义 #

## 1.1正态分布 ##

正态分布2，又名高斯分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。  
随机变量 X X X服从 N ( μ , σ 2 ) N(\\mu, \\sigma^2) N(μ,σ2)正态分布，我们分别记 ϕ ( ∗ ) \\phi(\*) ϕ(∗)和 Φ ( ∗ ) \\Phi(\*) Φ(∗)为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。  
定义为：  
 ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \\phi(x) = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\}e^\{-\\frac\{x^2\}\{2\}\} ϕ(x)=2π1e−2x2  
 Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t \\Phi(x) = \\int\_\{-\\infin\}^\{x\}\{\\phi(t)dt\} Φ(x)=∫−∞xϕ(t)dt  
随机变量 X X X的概率密度函数和累计分布分别为为：  
 f X ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f\_\{X\}(x) = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}e^\{-\\frac\{(x-\\mu)^2\}\{2\\sigma^2\}\} fX(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2  
 F X ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F\_\{X\}(x) = \\int\_\{-\\infin\}^\{x\}\{f(t)dt\} FX(x)=∫−∞xf(t)dt

## 1.2偏态分布 ##

A. Azzalini1在1985年首次提出标准偏态分布 S N ( 0 , 1 , λ ) SN(0,1,\\lambda) SN(0,1,λ),引入了偏度参数 λ \\lambda λ,其概率密度函数是：  
 f ( x ) = 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) , f(x) = 2\\phi(x)\\Phi(\\lambda x), f(x)=2ϕ(x)Φ(λx),  
 Y Y Y服从 S N ( μ , σ , λ ) SN(\\mu, \\sigma,\\lambda) SN(μ,σ,λ)的偏态分布，类似的概率密度函数有如下定义：  
 f Y ( y ) = 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) . f\_Y(y) = \\frac\{2\}\{\\sigma\}\\phi(\\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\})\\Phi(\\lambda \\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\}). fY(y)=σ2ϕ(σy−μ)Φ(λσy−μ).  
可以看出当 λ \\lambda λ为0时，该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量 Y Y Y的均值和方差。

# 2、偏态分布的数字特征 #

## 2.1均值 ##

在1.2节我们定义了一般的偏正态分布，这节我们推导偏正态分布的均值。  
 E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 （ t = y − μ σ ） ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t ∫ − ∞ λ t ϕ ( k ) d k ( 变 换 积 分 限 ) = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 2 π d − e − t 2 2 = μ + 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − k 2 2 λ 2 ϕ ( k ) d k = μ + 2 π λ 1 + λ 2 σ \\begin\{aligned\} E(Y) &\\left.= \\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}yf(y)dy \\right. \\\\ &\\left. = \\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}y \\frac\{2\}\{\\sigma\}\\phi(\\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\})\\Phi(\\lambda \\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\})dy (标准化换元（t=\\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\}）) \\right. \\\\ &\\left.=\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2(\\sigma t + \\mu)\\phi(t)\\Phi(\\lambda t)dt \\right.\\\\ &\\left.=\\mu +\\sigma\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2t\\phi(t)\\Phi(\\lambda t)dt \\right.\\\\ &\\left.=\\mu +\\sigma\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2t\\phi(t)dt\\int\_\{-\\infin\}^\{\\lambda t\}\{\\phi(k)\} dk (变换积分限) \\right. \\\\ &\\left.=\\mu +\\sigma\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}\\phi(k)dk\\int\_\{\\frac\{k\}\{\\lambda \}\}^\{+\\infin\}2t\{\\phi(t)\} dt \\right. \\\\ &\\left.=\\mu +\\sigma\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}\\phi(k)dk\\int\_\{\\frac\{k\}\{\\lambda \}\}^\{+\\infin\}\\frac\{2\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\} d-e^\{-\\frac\{t^2\}\{2\}\} \\right. \\\\ &\\left.=\\mu +\\sqrt\{\\frac\{2\}\{ \{\\pi\}\}\}\\sigma\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}e^\{-\\frac\{k^2\}\{2\\lambda^2\}\}\\phi(k)dk \\right. \\\\ &\\left.=\\mu +\\sqrt\{\\frac\{2\}\{ \{\\pi\}\}\} \\frac\{\\lambda\}\{\\sqrt\{1+\\lambda^2\}\} \\sigma \\right. \\\\ \\end\{aligned\} E(Y)=∫−∞\+∞yf(y)dy=∫−∞\+∞yσ2ϕ(σy−μ)Φ(λσy−μ)dy(标准化换元（t=σy−μ）)=∫−∞\+∞2(σt\+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ\+σ∫−∞\+∞2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ\+σ∫−∞\+∞2tϕ(t)dt∫−∞λtϕ(k)dk(变换积分限)=μ\+σ∫−∞\+∞ϕ(k)dk∫λk\+∞2tϕ(t)dt=μ\+σ∫−∞\+∞ϕ(k)dk∫λk\+∞2π2d−e−2t2=μ\+π2σ∫−∞\+∞e−2λ2k2ϕ(k)dk=μ\+π21\+λ2λσ  
令： μ 0 ( λ ) = 2 π λ 1 + λ 2 \\mu\_0(\\lambda) = \\sqrt\{\\frac\{2\}\{ \{\\pi\}\}\}\\frac\{\\lambda\}\{\\sqrt\{1+\\lambda^2\}\} μ0(λ)=π21\+λ2λ  
有： E ( Y ) = μ + μ 0 ( λ ) σ E(Y) = \\mu+\\mu\_0(\\lambda)\\sigma E(Y)=μ\+μ0(λ)σ

## 2.2方差 ##

按着正常步骤求方差先求二阶距离：  
 E ( Y 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 （ t = y − μ σ ） ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( μ 2 + σ 2 t 2 + 2 μ σ t ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 \\begin\{aligned\} E(Y^2) &\\left.= \\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}y^2f(y)dy \\right. \\\\ &\\left. = \\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}y^2 \\frac\{2\}\{\\sigma\}\\phi(\\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\})\\Phi(\\lambda \\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\})dy (标准化换元（t=\\frac\{y-\\mu\}\{\\sigma\}）) \\right. \\\\ &\\left.=\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2(\\sigma t + \\mu)^2\\phi(t)\\Phi(\\lambda t)dt \\right.\\\\ &\\left.=\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2(\\mu^2+\\sigma^2 t^2+2\\mu\\sigma t)\\phi(t)\\Phi(\\lambda t)dt \\right.\\\\ &\\left.=\\mu^2 + 2\\mu \\sigma \\mu\_0+\\sigma^2\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2t^2\\phi(t)\\Phi(\\lambda t)dt \\right.\\\\ &\\left.=\\mu^2 + 2\\mu \\sigma \\mu\_0+\\sigma^2 \\right.\\\\ \\end\{aligned\} E(Y2)=∫−∞\+∞y2f(y)dy=∫−∞\+∞y2σ2ϕ(σy−μ)Φ(λσy−μ)dy(标准化换元（t=σy−μ）)=∫−∞\+∞2(σt\+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫−∞\+∞2(μ2\+σ2t2\+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2\+2μσμ0\+σ2∫−∞\+∞2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2\+2μσμ0\+σ2

方差为：  
 D ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 − ( μ + μ 0 σ ) 2 = ( 1 − μ 0 2 ) σ 2 \\begin\{aligned\} D(Y) &\\left.=E(Y^2)-\{E(Y)\}^2 \\right. \\\\ &\\left.=\\mu^2 + 2\\mu \\sigma \\mu\_0+\\sigma^2 - \{(\\mu+\\mu\_0\\sigma)\}^2 \\right. \\\\ &\\left.=(1-\\mu\_0^2)\\sigma^2 \\right. \\\\ \\end\{aligned\} D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2\+2μσμ0\+σ2−(μ\+μ0σ)2=(1−μ02)σ2

令： σ 0 2 ( λ ) = 1 − μ 0 2 = 1 − 2 π λ 2 1 + λ 2 \\sigma\_0^2(\\lambda) = 1 - \\mu\_0^2=1 - \{\\frac\{2\}\{ \{\\pi\}\}\}\\frac\{\\lambda^2\}\{ \{1+\\lambda^2\}\} σ02(λ)=1−μ02=1−π21\+λ2λ2  
有： D ( Y ) = σ 0 2 ( λ ) σ 2 D(Y) = \\sigma\_0^2(\\lambda)\\sigma^2 D(Y)=σ02(λ)σ2  
注：

*  在推导中会把 μ 0 ( λ ) \\mu\_0(\\lambda) μ0(λ)记为 μ 0 . \\mu\_0. μ0.
 *  在推导中用到 K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t K = \\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2t^2\\phi(t)\\Phi(\\lambda t)dt K=∫−∞\+∞2t2ϕ(t)Φ(λt)dt = 1，最后我们补齐证明。

K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t （ 改 变 积 分 限 + 分 部 积 分 ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t （ 概 率 密 度 函 数 具 有 规 范 性 ） = 1 \\begin\{aligned\} K &\\left.=\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2t^2\\phi(t)\\Phi(\\lambda t) dt （改变积分限+分部积分) \\right. \\\\ \\\\ &\\left.=\\int\_\{-\\infin\}^\{+\\infin\}2\\phi(t)\\Phi(\\lambda t)dt（概率密度函数具有规范性） \\right. \\\\ \\\\ &\\left.=1 \\right. \\\\ \\end\{aligned\} K=∫−∞\+∞2t2ϕ(t)Φ(λt)dt（改变积分限\+分部积分)=∫−∞\+∞2ϕ(t)Φ(λt)dt（概率密度函数具有规范性）=1

# 3、不同偏态的偏态分布——R语言 #

本文代码主要用了`闭包`以及`ggplot2`包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。

## 3.1 代码 ##

library(ggplot2)
    nnorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){
        
      function(x){
        
        x <- (x - mu)/sigma
        f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda)
        return(f)
      }
    }
    plot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))
    plot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T)
    plot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T)
    plot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
    plot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T)
    plot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T)
    plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T)
    
    x <- seq(-5,5, 0.01)
    n = length(x)
    Lambda <- c(-3:3)
    Data <- data.frame(
      x = rep(x, 7),
      y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x),
      nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)),
      z = rep(Lambda, each = n),
      z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n))
    )
    qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line")
    qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line")

## 3.2不同lambda的偏态分布图 ##

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![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NjExMTgxNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

# 参考文献 #

--------------------

1.  A. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎
2.  https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NjExMTgxNA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221022/b972fd64c97547f1ad247824f90b9bfe.png
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