普里姆算法

逃离我推掉我的手 2022-11-15 01:26 194阅读 0赞

# 一：普里姆算法介绍 #

普利姆 (Prim) 算法求最小生成树，也就是在包含  n  个顶点的连通图中，找出只有 (n-1) 条边包含所有  n  个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。

普利姆的算法如下 :

1) 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合 
    2) 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1 
    3) 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1 
    4) 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

图解普利姆算法：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 二：普里姆算法最佳实践(修路问题) #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

1) 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通 
    2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里 
    3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

**思路** **:**  **将** **10** **条边，连接即可，但是总的里程数不是最小。**

**正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。**

## 2.1：最小生成树 ##

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。
    给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
    1) N 个顶点，一定有 N-1 条边
    2) 包含全部顶点
    3) N-1 条边都在图中

**求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

# 三：代码实现 #

package com.prim;
    
    /**
     * @author lizhangyu
     * @date 2021/3/30 20:06
     */
    public class MGraph {
    
        /**
         * 表示图的节点个数
         */
        int verxs;
    
        /**
         * 存放节点数据
         */
        char[] data;
    
        /**
         * 存放边，就是我们的邻接矩阵
         */
        int[][] weight;
    
        public MGraph(int verxs) {
            this.verxs = verxs;
            data = new char[verxs];
            weight = new int[verxs][verxs];
        }
    
    }

package com.prim;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /**
     * @author lizhangyu
     * @date 2021/3/30 20:07
     */
    public class MinTree {
    
        /**
         * 创建图的邻接矩阵
         * @param graph 图对象
         * @param verxs 图对应的顶点个数
         * @param data 图的各个顶点的值
         * @param weight 图的邻接矩阵
         */
        public void create(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
            for (int i = 0; i < verxs; i++) {
                graph.data[i] = data[i];
                for (int j = 0; j < verxs; j++) {
                    graph.weight[i][j] = weight[i][j];
                }
            }
        }
    
        /**
         * 显示图的邻接矩阵
         * @param graph
         */
        public void showGraph(MGraph graph) {
            for (int[] link : graph.weight) {
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
    
        /**
         * prim 算法，得到最小生成树
         * @param graph 图
         * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成
         */
        public void prim(MGraph graph, int v) {
            //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
            int[] visited = new int[graph.verxs];
    
            //把当前这个节点标记为已访问
            visited[v] = 1;
    
            //h1和h2记录两个顶点的下标
            int h1 = -1;
            int h2 = -1;
    
            //将minWeight初始化为一个大数，后面在遍历过程中，会被替换i
            int minWeight = 10000;
    
            //因为有graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有graph.verxs-1边
            for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {
    
                //这个是确定每一次生成的子图，和那个节点的距离最近
                // i 结点表示被访问过的结点
                for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
                    //j 结点表示还没有访问过的结点
                    for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {
                        if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                            minWeight = graph.weight[i][j];
                            h1 = i;
                            h2 = j;
                        }
                    }
                }
    
                //找到一条边是最小
                System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
                //将当前这个结点标记为已经访问
                visited[h2] = 1;
                //minWeight 重新设置为最大值 10000
                minWeight = 10000;
            }
    
        }
    
    }

package com.prim;
    
    /**
     * @author lizhangyu
     * @date 2021/3/30 20:10
     */
    public class PrimAlgorithm {
    
        public static void main(String[] args) {
            //测试看看图是否创建OK
            char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
    
            //节点的数量
            int verxs = data.length;
    
            //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数，表示两个点不联通
            int[][] weight = new int[][] {
                    {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                    {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                    {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                    {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                    {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                    {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                    {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}
            };
    
            //创建MGraph对象
            MGraph graph = new MGraph(verxs);
    
            //创建一个MinTree对象
            MinTree minTree = new MinTree();
    
            minTree.create(graph, verxs, data, weight);
    
            //输出
            minTree.showGraph(graph);
    
            //测试普利姆算法
            minTree.prim(graph, 0);
    
        }
    }

运行结果如下：

[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
    [5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
    [7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
    [10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
    [10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
    [10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
    [2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
    边<A,G> 权值:2
    边<G,B> 权值:3
    边<G,E> 权值:4
    边<E,F> 权值:5
    边<F,D> 权值:4
    边<A,C> 权值:7

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221022/22d1cea698c943788b77565dcbab91a4.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221022/ae6a81486b2449f58485a936eae2fe1e.png
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