普里姆算法解决修路问题

落日映苍穹つ 2021-07-24 12:28 311阅读 0赞

# 一 问题提出 #

1 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)，现在需要修路把7个村庄连通。

2 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里。

问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

> 思路

错误思路：将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小。

正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。

![20210331171806609.png][]

# 二 最小生成树 #

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

1 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树。

2 该树有N个顶点，则一定有N-1条边。

3 该树包含全部顶点。

4 N-1条边都在图中。

5 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

最小生成树的图示如下

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 三 普里姆算法 #

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。

算法如下。

1 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合。

2 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited\[u\]=1

3 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited\[vj\]=1

4 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。

# 四 实战 #

## 1 要求 ##

用代码实现开篇提出的修路问题。

## 2 代码 ##

import java.util.Arrays;
    
    /**
    * @className: PrimAlgorithm
    * @description: 普里姆算法
    * @date: 2021/3/31
    * @author: cakin
    */
    public class PrimAlgorithm {
        /**
         * 功能描述：普里姆算法测试
         *
         * @param args 命令行
         * @return
         * @author cakin
         * @date 2021/3/31
         */
        public static void main(String[] args) {
            // 图的顶点
            char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
            // 顶点的个数
            int verxs = data.length;
            // 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
            int[][] weight = new int[][]{
                    {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                    {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                    {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                    {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                    {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                    {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                    {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};
    
            // 创建 MGraph 对象
            MGraph graph = new MGraph(verxs);
            // 创建 MinTree 对象
            MinTree minTree = new MinTree();
            minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
            // 输出图
            minTree.showGraph(graph);
            // 普利姆算法
            minTree.prim(graph, 1);//
        }
    }
    
    /**
    * @className: PrimAlgorithm
    * @description: 最小生成树
    * @date: 2021/3/31
    * @author: cakin
    */
    class MinTree {
        /**
         * 功能描述：图的邻接矩阵
         *
         * @param graph  图对象
         * @param verxs  图对应的顶点个数
         * @param data   图的各个顶点的值
         * @param weight 图的邻接矩阵
         */
        public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
            int i, j;
            for (i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
                graph.data[i] = data[i];
                for (j = 0; j < verxs; j++) {
                    graph.weight[i][j] = weight[i][j];
                }
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：显示图的邻接矩阵
         *
         * @param graph 图
         * @author 贝医
         * @date 2021/3/31
         */
        public void showGraph(MGraph graph) {
            for (int[] link : graph.weight) {
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：prim算法，得到最小生成树
         *
         * @param graph 图
         * @param v     表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
         */
        public void prim(MGraph graph, int v) {
            // 标记结点(顶点)是否被访问过
            int visited[] = new int[graph.verxs];
    
            // 把当前这个结点标记为已访问，0表示没有访问过
            visited[v] = 1;
            // h1 和 h2 记录两个顶点的下标
            int h1 = -1;
            int h2 = -1;
            int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
            for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有 graph.verxs 个顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边
                // 这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
                for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点
                    for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j结点表示还没有访问过的结点
                        // 寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边
                        if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                            // 替换minWeight
                            minWeight = graph.weight[i][j];
                            h1 = i;
                            h2 = j;
                        }
                    }
                }
                // 找到一条边是最小
                System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
                // 将当前这个结点标记为已经访问
                visited[h2] = 1;
                // minWeight 重新设置为最大值 10000
                minWeight = 10000;
            }
        }
    }
    
    /**
    * @className: PrimAlgorithm
    * @description: 图
    * @date: 2021/3/31
    * @author: cakin
    */
    class MGraph {
        // 表示图的顶点个数
        int verxs;
        // 存储结点数据
        char[] data;
        // 存放边，也就是邻接矩阵
        int[][] weight;
    
    
        public MGraph(int verxs) {
            this.verxs = verxs;
            data = new char[verxs];
            weight = new int[verxs][verxs];
        }
    }

# 3 测试 #

[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
    [5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
    [7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
    [10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
    [10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
    [10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
    [2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
    边<B,G> 权值:3
    边<G,A> 权值:2
    边<G,E> 权值:4
    边<E,F> 权值:5
    边<F,D> 权值:4
    边<A,C> 权值:7

[20210331171806609.png]: /images/20210724/48d7f5e09845428b9d50562c92f7e98e.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20210724/477147d812464ef9a90d733bc73a36df.png