概率论基础知识整理☯ | 概率论的基本概念

港控/mmm° 2022-10-26 04:57 203阅读 0赞

### 第一章目录 ###

*  一、样本空间、随机事件
 *  二、概率、古典概型
 *  三、条件概率、全概率公式
 *  四、独立性

# 一、样本空间、随机事件 #

*  样本空间：由所有基本结果（样本点）组成的集合，常记为 Ω \\Omega Ω。
 *  随机事件：样本空间的子集，常用大写字母（A、B）表示。
 *  必然事件：可以用样本空间 Ω \\Omega Ω表示，注意：概率为1的事件不一定是必然事件，必然事件概率一定为1。
 *  不可能事件：可以用空集 ∅ \\emptyset ∅表示，注意：概率为0的事件不一定是不可能事件，不可能事件概率一定为0。
 *  事件A发生而事件B不发生记为A − - −B。
 *  部分公式： 1 。 A ˉ = Ω − A 1^。\\bar\{A\}=\\Omega-A 1。Aˉ=Ω−A 2 。 A − B = A B ˉ = A − A B 2^。A-B=A\\bar\{B\}=A-AB 2。A−B=ABˉ=A−AB

# 二、概率、古典概型 #

*  有限可加性：对于两两互不相容的可数无穷多个事件 A 1 , A 2 , . . . . . . A n . . . . . . , A\_1,A\_2,......A\_n......, A1,A2,......An......,有 P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P(\\bigcup^\\infty\_\{i=1\}A\_i)=\\sum^\\infty\_\{i=1\}P(A\_i) P(i=1⋃∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)其中P(A)为事件A的概率。
 *  不可能事件的概率为0，但逆命题不一定成立。
 *  部分公式： 1 。 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) 1^。P(A-B)=P(A)-P(AB) 1。P(A−B)=P(A)−P(AB) 2 。 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B ) ; \[ B ⊂ A , P ( B ) ≤ P ( A ) \] 2^。P(A-B)=P(A)-P(B);\[B\\subset A,P(B)\\le P(A)\] 2。P(A−B)=P(A)−P(B);\[B⊂A,P(B)≤P(A)\] 3 。 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) ( 加 法 公 式 ) 3^。P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)(加法公式) 3。P(A∪B)=P(A)\+P(B)−P(AB)(加法公式)
 *  古典概型：每个基本事件的发生都是等可能的，也称等可能概型；古典概型中事件A的计算公式： P ( A ) = k n = A 所 包 含 的 所 有 样 本 点 Ω 中 样 本 点 总 数 P(A)=\\frac\{k\}\{n\}=\\frac\{A所包含的所有样本点\}\{\\Omega中样本点总数\} P(A)=nk=Ω中样本点总数A所包含的所有样本点
 *  几何概型计算公式： P ( A ) = m ( A ) m ( Ω ) P(A)=\\frac\{m(A)\}\{m(\\Omega)\} P(A)=m(Ω)m(A)其中 Ω \\Omega Ω为样本空间，A为 Ω \\Omega Ω内的区域，m(B)表示区域B的大小度量（如面积、长度、体积等）。

# 三、条件概率、全概率公式 #

*  条件概率：记为 P ( A ∣ B ) P(A\\mid B) P(A∣B)，其中 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A\\mid B)=\\frac\{P(AB)\}\{P(B)\} P(A∣B)=P(B)P(AB)
 *  乘法定理： P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) ; \[ P ( B ) > 0 \] P(AB)=P(A\\mid B)P(B);\[P(B)>0\] P(AB)=P(A∣B)P(B);\[P(B)>0\]
 *  全概率公式： P ( B ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P ( A i ∣ B ) P(B)=\\sum^\\infty\_\{i=1\}P(A\_i)P(A\_i\\mid B) P(B)=i=1∑∞P(Ai)P(Ai∣B)其中 A 1 , A 2 , A 3 . . . . . A n A\_1,A\_2,A\_3.....A\_n A1,A2,A3.....An为 Ω \\Omega Ω的一个划分。
 *  贝叶斯公式（逆概率公式）： P ( A i ∣ B ) = P ( A i B ) P ( B ) = P ( B ∣ A i ) P ( A i ) ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P ( A i ∣ B ) P(A\_i\\mid B)=\\frac\{P(A\_iB)\}\{P(B)\}=\\frac\{P(B\\mid A\_i)P(A\_i)\}\{\\sum^\\infty\_\{i=1\}P(A\_i)P(A\_i\\mid B)\} P(Ai∣B)=P(B)P(AiB)=∑i=1∞P(Ai)P(Ai∣B)P(B∣Ai)P(Ai)其中 A 1 , A 2 , A 3 . . . . . A n A\_1,A\_2,A\_3.....A\_n A1,A2,A3.....An为 Ω \\Omega Ω的一个划分。

# 四、独立性 #

*  如果事件 A 1 A\_1 A1和 A 2 A\_2 A2满足 P ( A 1 A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P(A\_1A\_2)=P(A\_1)P(A\_2) P(A1A2)=P(A1)P(A2)则 A 1 A\_1 A1和 A 2 A\_2 A2是相互独立的。
 *  如果事件A与B相互独立，则 A 与 B ˉ ， A ˉ 与 B ， A ˉ 与 B ˉ A与\\bar\{B\}，\\bar\{A\}与B，\\bar\{A\}与\\bar\{B\} A与Bˉ，Aˉ与B，Aˉ与Bˉ也是相互独立的。
 *  若事件A与B相互独立，且0<P(A)<1，则有 P ( B ∣ A ) = P ( B ∣ A ˉ ) = P ( B ) P(B\\mid A)=P(B\\mid \\bar\{A\})=P(B) P(B∣A)=P(B∣Aˉ)=P(B)
 *  伯努利试验：试验只有两种结果： A 、 A ˉ A、\\bar\{A\} A、Aˉ
 *  n重伯努利试验中A出现k次的概率计算公式： P n ( k ) = C k n p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , 3...... P\_n(k)=C^n\_kp^k(1-p)^\{n-k\},k=0,1,2,3...... Pn(k)=Cknpk(1−p)n−k,k=0,1,2,3......其中 P ( A ) = p , P ( A ˉ ) = 1 − p P(A)=p,P(\\bar\{A\})=1-p P(A)=p,P(Aˉ)=1−p。