矩阵计算——梯度、散度与拉普拉斯算子

╰半橙微兮° 2022-10-23 11:25 2269阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  初遇拉普拉斯算子
 *  梯度（gradient）
 *   *  什么是梯度
     *  差分形式
 *  散度（divergence）
 *  拉普拉斯算子（Laplace Operator）
 *   *  差分形式

# 初遇拉普拉斯算子 #

有这样一个特殊的数学符号叫拉普拉斯算子（Laplace operator），在不少工程领域都有它的出现，其数学表达式写作  △ \\triangle △ 或者  ▽ 2 \\triangledown^2 ▽2。 还隐约记得我第一次接触这个玩意的时候，还是做流体的时候，好像是用来计算密度扩散的时候用到的。

当时还是11年，查很多资料介绍的也是稀里糊涂的，直到后来看到拉普拉斯算子的离散式表达形式后，才大概明白了它的涵义。后来毕业后两三年一直待在所里，跟着同事一起搞系统工程；即便后来跟朋友一起弄 嵌入式ＡＩ摄像头，但是这些复杂而艰深的数理知识因为工作原因基本没用到，所以基差不多忘了个光。

因为最近产生了重新回到学校，想继续当年没读的博士学位。然后重新翻看一些学术论文的时候，再次看到了这个拉普拉斯算子，恍惚回到了当年挑灯熬夜苦读的时候。

今天想把这些写下来，纯粹也是因为自己本来就较为愚钝，领悟比别人慢。更重要的是作为以后的备份，到时候如果相关知识点忘记的话，就可以随时回来查看这些知识点，做到查缺补漏之功效了。

# 梯度（gradient） #

## 什么是梯度 ##

开始这个话题之前，我想先引入梯度算子，写作 ▽ \\triangledown ▽ 函数式写作  g r a d ( x ) grad(x) grad(x)，对于二维或者三维来说，就写作 g r a d ( x , y , z ) grad(x, y, z) grad(x,y,z)。你在教科书上能见到它的解析式表达形式，如果对于三维空间来说，就写作

g r a d ( x , y , z ) = ▽ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k grad(x, y, z)=\\triangledown f = \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\} i + \\frac\{\\partial f\}\{\\partial y\}j + \\frac\{\\partial f\}\{\\partial z\}k grad(x,y,z)=▽f=∂x∂fi\+∂y∂fj\+∂z∂fk

其中  i i i  j j j  k k k表示在x, y, z轴上的向量分量，如果不太清楚这个表达形式的同学，可能需要翻看一下自己高中数学关于向量分量描述的相关章节了。

因为这个公式是个偏微分的表达形式，例如对于X轴上，用差分形式进行表达，就是这样的：

∂ f ∂ x = f ( x + Δ x o , y , z ) − f ( x , y , z ) Δ x o \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\} = \\frac\{f(x + \\Delta x\_o, y, z) - f(x, y, z)\}\{ \\Delta x\_o\} ∂x∂f=Δxof(x\+Δxo,y,z)−f(x,y,z)

因此，分别对于Y轴，Z轴来说，就分别是这样的：

∂ f ∂ y = f ( x , y + Δ y o , z ) − f ( x , y , z ) Δ y o \\frac\{\\partial f\}\{\\partial y\} = \\frac\{f(x, y + \\Delta y\_o, z) - f(x, y, z)\}\{ \\Delta y\_o\} ∂y∂f=Δyof(x,y\+Δyo,z)−f(x,y,z)

∂ f ∂ z = f ( x , y , z + Δ z o ) − f ( x , y , z ) Δ z o \\frac\{\\partial f\}\{\\partial z\} = \\frac\{f(x, y, z + \\Delta z\_o) - f(x, y, z)\}\{ \\Delta z\_o\} ∂z∂f=Δzof(x,y,z\+Δzo)−f(x,y,z)

## 差分形式 ##

而对于计算机来说，通常我们令 Δ x o = Δ y o = Δ z o = 1 \\Delta x\_o = \\Delta y\_o = \\Delta z\_o = 1 Δxo=Δyo=Δzo=1，然后常用的一种差分形式就可以表示如下：

∂ f ∂ x ≈ f ( x + 1 , y , z ) − f ( x , y , z ) \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\} \\approx f(x +1, y, z) - f(x, y, z) ∂x∂f≈f(x\+1,y,z)−f(x,y,z)

∂ f ∂ y ≈ f ( x , y + 1 , z ) − f ( x , y , z ) \\frac\{\\partial f\}\{\\partial y\} \\approx f(x, y +1, z) - f(x, y, z) ∂y∂f≈f(x,y\+1,z)−f(x,y,z)

∂ f ∂ z ≈ f ( x , y , z + 1 ) − f ( x , y , z ) \\frac\{\\partial f\}\{\\partial z\} \\approx f(x, y, z +1) - f(x, y, z) ∂z∂f≈f(x,y,z\+1)−f(x,y,z)

所以你也看出来了，所谓的**梯度**，用大白话讲，就是对于某一点它分别在X轴上、Y轴上以及Z轴上的斜率。

# 散度（divergence） #

你会发现它跟梯度算子很相似，写作 ▽ ⋅ F ⃗ \\triangledown \\cdot \\vec\{F\} ▽⋅F 在很多书上它被简写成这样  ▽ ⋅ F \\triangledown \\cdot F ▽⋅F 区别在于多了一个点乘符号。

你或许会觉得**梯度**和**散度**长得很像，有区别吗？我个人理解其实区别并不大，因为散度的解析式也写成这样的形式：

d i v ( F ) = ▽ ⋅ F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z div(F) = \\triangledown \\cdot F = \\frac\{\\partial F\_x\}\{\\partial x\} + \\frac\{\\partial F\_y\}\{\\partial y\} + \\frac\{\\partial F\_z\}\{\\partial z\} div(F)=▽⋅F=∂x∂Fx\+∂y∂Fy\+∂z∂Fz

形式上两者是很相似的，尽管梯度写作：

但可以把梯度里的  f f f 和向量分量做一个映射，变成一个新的向量后，就可以得到这样一个表达式：

F ⃗ ( x , y , z ) = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ \\vec\{F\}(x,y,z)=x \\vec i + y \\vec j+z \\vec k F(x,y,z)=xi\+yj\+zk

于是梯度就能转换为散度的表达形式：

▽ ⋅ F ⃗ = ∂ F i ∂ i + ∂ F j ∂ j + ∂ F k ∂ k \\triangledown \\cdot \\vec F = \\frac\{\\partial F\_i\}\{\\partial i\} + \\frac\{\\partial F\_j\}\{\\partial j\} + \\frac\{\\partial F\_k\}\{\\partial k\} ▽⋅F=∂i∂Fi\+∂j∂Fj\+∂k∂Fk

所以，实际上我们关心的其实只有梯度算子 ▽ \\triangledown ▽。

要说这两者最大表示区别，我觉得是在于这两者观察角度的不同。举例来说，梯度是在给定欧式空间坐标后，研究在这空间里类似山脊一侧某一点的坡度的斜率。  
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而散度，则是在流场中的某一点，放置一个探测器，计算该点的速度、密度、热量的变化率。

如果观察坐标系，可以发现对于梯度来说，其坐标系在外，观察点位于坐标系中任意一个点上。而散度，它的坐标系通常表示为它自身，即以观察点为中心，建立XYZ坐标系。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

也就是说，如果你把梯度的观察点设置为欧式空间坐标的原点，那么此刻的梯度和散度就是一回事了。

# 拉普拉斯算子（Laplace Operator） #

在介绍完梯度和散度后，现在来介绍拉普拉斯算子：它写作  △ \\triangle △ 或者  ▽ 2 \\triangledown^2 ▽2 解析式写为：

▽ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \\triangledown^2 = \\frac\{\\partial^2\}\{\\partial x^2\} + \\frac\{\\partial^2\}\{\\partial y^2\}+\\frac\{\\partial^2\}\{\\partial z^2\} ▽2=∂x2∂2\+∂y2∂2\+∂z2∂2

它表示梯度或者散度的变化率，即变化率的变化率。如果举一个经典的变化率的变化率，那无疑就是经典力学的加速度公式

v t = v o + a t v\_t = v\_o + at vt=vo\+at

使用拉普拉斯算子的重要物理意义，在于假设一个场分别在XYZ分量上的变化都是线性的，那么可以直接使用拉普拉斯算子，直接估测出距离测试点 P o P\_o Po  ( Δ X , Δ Y , Δ Z ) (\\Delta X, \\Delta Y, \\Delta Z) (ΔX,ΔY,ΔZ)的某一点  P t P\_t Pt 上的物理值，例如速度、密度、热量等。估算方式可以简单到如同求解加速度一样。

那么它的差分形式的近似表达式又是什么呢，从1阶差分形式可以知道

▽ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) \\triangledown f(x) = f(x +1) - f(x) ▽f(x)=f(x\+1)−f(x)

那么它的二阶形式就表示为：

▽ 2 f ( X ) = ▽ f ( X + 1 ) − ▽ f ( X ) \\triangledown^2f(X) = \\triangledown f(X+1) - \\triangledown f(X) ▽2f(X)=▽f(X\+1)−▽f(X)

代入一阶差分，于是就可以得到

▽ 2 f ( x ) = f ( x + 2 ) − 2 f ( x + 1 ) + f ( x ) \\triangledown^2f(x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x) ▽2f(x)=f(x\+2)−2f(x\+1)\+f(x)

## 差分形式 ##

所以，对于拉普拉斯算子，它的向前差分形式的各ＸＹＺ上的差分计算方法即为：

∂ 2 ∂ x 2 ≈ f ( x + 2 , y , z ) − 2 f ( x + 1 , y , z ) + f ( x , y , z ) \\frac\{\\partial^2\}\{\\partial x^2\} \\approx f(x+2, y, z) - 2f(x+1, y, z) + f(x, y, z) ∂x2∂2≈f(x\+2,y,z)−2f(x\+1,y,z)\+f(x,y,z)  
 ∂ 2 ∂ y 2 ≈ f ( x , y + 2 , z ) − 2 f ( x , y + 1 , z ) + f ( x , y , z ) \\frac\{\\partial^2\}\{\\partial y^2\} \\approx f(x, y+2, z) - 2f(x, y+1, z) + f(x, y, z) ∂y2∂2≈f(x,y\+2,z)−2f(x,y\+1,z)\+f(x,y,z)  
 ∂ 2 ∂ z 2 ≈ f ( x , y , z + 2 ) − 2 f ( x , y , z + 1 ) + f ( x , y , z ) \\frac\{\\partial^2\}\{\\partial z^2\} \\approx f(x, y, z+2) - 2f(x, y, z+1) + f(x, y, z) ∂z2∂2≈f(x,y,z\+2)−2f(x,y,z\+1)\+f(x,y,z)

当然，在弄懂这个原理后，你可以自行推导出它的向后差分形式，或者中央差分形式的表达式，这里只做一个引子。

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