Jacobian矩阵和梯度矩阵

妖狐艹你老母 2022-01-06 05:15 330阅读 0赞

#### 记号标识 ####

标量：常规小写字母；  
**向量**：加粗的小写字母:  x = \[ x 1 , ⋯ &ThinSpace; , x m \] T ∈ R m \\bm x=\[x\_1,\\cdots,x\_m\]^T \\in \\mathbb\{R\}^m x=\[x1,⋯,xm\]T∈Rm ;  
**实矩阵**：加粗的大写字母： X = \[ x 1 , ⋯ &ThinSpace; , x n \] T ∈ R m × n \\bm X =\[\\bm x\_1,\\cdots,\\bm x\_n\]^T \\in \\mathbb R^\{m \\times n\} X=\[x1,⋯,xn\]T∈Rm×n  
函数的表示亦是如此，打字费劲，不做演示，小写 f f f表示标量scalar函数，小写粗体 f \\bm f f表示列向量函数，大写粗体 F \\bm F F表示矩阵函数。

#### Jacobian矩阵 ####

1 × m 1\\times m 1×m行向量偏导算子记为：  
 D x = d e f ∂ ∂ x T = ( ∂ ∂ x 1 , ⋯ &ThinSpace; , ∂ ∂ x m ) D\_x \\overset\{def\}\{=\}\\frac\{\\partial\}\{\\partial\\bm x^T\}=\\left(\\frac\{\\partial\}\{\\partial x\_1\},\\cdots,\\frac\{\\partial\}\{\\partial x\_m\}\\right) Dx=def∂xT∂=(∂x1∂,⋯,∂xm∂)  
由此可以看出，Jacobian矩阵的核心在于，当求偏导时：

*  自变量 x \\bm x x转置为行向量 x T \\bm x^T xT或者自变量矩阵 X \\bm X X转置为 X T \\bm X^T XT;
 *  如果函数为列向量 f \\bm f f时，函数按照原方向展开；

所以，Jacobian矩阵简单来讲，就是求偏导时，自变量按照水平方向展开，函数按竖直方向展开。

> 有关Jacobian矩阵的更多内容，请参照张贤达《矩阵分析与应用》第三章3.1节

#### 梯度矩阵(这是重点) ####

采用列向量形式定义的偏导算子称为列向量偏导算子，习惯上称为梯度算子，而梯度在机器学习中是一个经常用到的概念。  
梯度算子计作 ∇ x \\nabla\_x ∇x，定义为：  
 ∇ x = d e f ∂ ∂ x = ( ∂ ∂ x 1 , ⋯ &ThinSpace; , ∂ ∂ x m ) T \\nabla\_x\\overset\{def\}\{=\}\\frac\{\\partial\}\{\\partial\\bm x\}=\\left(\\frac\{\\partial\}\{\\partial x\_1\},\\cdots,\\frac\{\\partial\}\{\\partial x\_m\}\\right)^T ∇x=def∂x∂=(∂x1∂,⋯,∂xm∂)T  
因此，实值标量函数 f ( x ) f(\\bm x) f(x)的梯度向量 ∇ x f ( x ) \\nabla\_\\bm xf(\\bm x) ∇xf(x)为 m × 1 m\\times1 m×1的列向量，定义为：  
 ∇ x f ( x ) = d e f ∂ f ( x ) ∂ x = ( ∂ f ( x ) ∂ x 1 , ⋯ &ThinSpace; , ∂ f ( x ) ∂ x m ) T \\nabla\_xf(\\bm x)\\overset\{def\}\{=\}\\frac\{\\partial f(\\bm x)\}\{\\partial\\bm x\}=\\left(\\frac\{\\partial f(\\bm x)\}\{\\partial x\_1\},\\cdots,\\frac\{\\partial f(\\bm x)\}\{\\partial x\_m\}\\right)^T ∇xf(x)=def∂x∂f(x)=(∂x1∂f(x),⋯,∂xm∂f(x))T  
由此可知：**梯度矩阵**的核心是：

*  自变量列向量 x \\bm x x按照原本列的形式进行铺陈；
 *  列向量函数 f \\bm f f或矩阵函数 F \\bm F F按照行形式进行铺排；

梯度方向的负方向  − ∇ x f ( x ) -\\nabla\_\\bm xf(\\bm x) −∇xf(x)称为函数  f f f在点  x \\bm x x梯度流（gradient flow），从梯度向量的定义可以看出（没有基础当然看不出来）：

(1) 在梯度流方向，函数  f ( x ) f(\\bm x) f(x)以最大速率下降；

(2) 在梯度正方向，函数  f ( x ) f(\\bm x) f(x)以最大速率上升。  
方向导数和梯度向量关系密切，方向导数的最大值为梯度向量的模长  ∥ ∇ x f ( x ) ∥ 2 \\|\\nabla\_\\bm xf(\\bm x)\\|\_2 ∥∇xf(x)∥2，日后有机会可以一说。

更加广义的表达方式对比**实值矩阵函数** F ( X ) \\bm F(\\bm X) F(X)的梯度矩阵和Jacobian矩阵：  
 ∇ X F ( X ) = ∂ v e c T F ( X ) ∂ v e c X = ( ∂ v e c F ( X ) ∂ v e c T X ) T = ( D X F ( X ) ) T \\nabla\_\\bm X \\bm F(\\bm X)=\\frac\{\\partial vec^T\\bm F(\\bm X)\}\{\\partial vec \\bm X\}=\\left(\\frac\{\\partial vec\\bm F(\\bm X)\}\{\\partial vec^T\\bm X\}\\right)^T=\\left(D\_\\bm X\\bm F(\\bm X)\\right)^T ∇XF(X)=∂vecX∂vecTF(X)=(∂vecTX∂vecF(X))T=(DXF(X))T  
其中： ∂ v e c X \\partial vec \\bm X ∂vecX表示将自变量矩阵 X \\bm X X转化为列向量，转化的方式是**按列**顺次拼接，最终以**列**的形式铺陈； ∂ v e c T F ( X ) \\partial vec^T \\bm F(\\bm X) ∂vecTF(X)表示将实值矩阵函数 F ( X ) \\bm F(\\bm X) F(X)转化为行向量，转化的方式依旧是**按列**顺次拼接，最终以**行**的形式铺陈。其他同理。

***总之，矩阵函数的梯度矩阵是其Jacobian矩阵的转置【Transposition】。***