leetcode 122 买卖股票问题（无数次交易）

灰太狼 2022-10-07 09:58 156阅读 0赞

题目：给定一个数组 prices ，其中 prices\[i\] 是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
    
    输入: prices = [7,1,5,3,6,4]
    输出: 7
    解释: 1的时候买入 5的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
         随后3的时候买入 6的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
    示例 2:
    
    输入: prices = [1,2,3,4,5]
    输出: 4
    解释:  1的时候买入，5的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
         注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
    示例 3:
    
    输入: prices = [7,6,4,3,1]
    输出: 0
    解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

**思路：  
1、暴力求解  
2、动态 规划  
3、贪心算法**

F1:动态规划  
1)考虑到\[不能同时参与多笔交易\] 因此每天交易完 只可能有两种状态，手里有一支股票或者手里没有股票  
2)定义状态dp\[i\]\[0\] 表示第 i 天交易完后手里没有股票的最大利润，dp\[i\]\[1\] 表示第 i 天交易完后手里持有一支股票的最大利润（i从 0开始）; 二维数组 dp【i】【j】 i表示第几天，j表示状态 0(没有)，1(有)  
3)dp\[i\]\[0\]表示这一天手里已经没有股票，那么可能的转移状态为前一天已经没有股票，即dp\[i-1\]\[0\];或者前一天结束的时候手里持有一只股票  
4)dp\[i-1\]\[1\],这时候将其卖出，并获得prices\[i\]的收益，因此为了收益最大化dp\[i\]\[0\]=max\{dp\[i−1\]\[0\],dp\[i−1\]\[1\]+prices\[i\]\}  
5)再考虑dp\[i\]\[1\],那么可能的转移状态前一天已经持有一支股票，即dp\[i-1\]\[1\],或者前一天结束的时候还没有股票即dp\[i-1\]\[0\],这时将其买入，并减少prices\[i\]的收益；故dp\[i\]\[1\]=max\{dp\[i-1\]\[1\],dp\[i-1\]\[0\]-prices\[i\]\}  
6)初始状态 dp\[0\]\[0\]=0;dp\[0\]\[1\]=-prices\[0\];  
7)因为最后持有股票的收益 一定是小于不持有的收益的即dp\[n-1\]\[0\]>dp\[n-1\]\[1\]

class Solution {
        
        public int maxProfit(int[] prices) {
        
          
    
       int n=prices.length;
       int[][] dp = new int[n][2];
       dp[0][0]=0;
       dp[0][1]=-prices[0];
       for(int i=1;i<n;i++){
        
           dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
           dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
        }
        return dp[n-1][0];
    }
    }

代码改进 每一天的状态只与前一天的状态有关，而与更早的状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态，只需要将 dp\[i−1\]\[0\] 和 dp\[i−1\]\[1\] 存放在两个变量中，通过它们计算出 dp\[i\]\[0\] 和 dp\[i\]\[1\] 并存回对应的变量，以便于第 i+1 天的状态转移即可。

class Solution {
        
        public int maxProfit(int[] prices) {
        
       int n=prices.length;
       int dp0=0;
       int dp1=-prices[0];
       for(int i=1;i<n;i++){
        
          int newDp0=Math.max(dp0,dp1+prices[i]);
          int newDp1=Math.max(dp1,dp0-prices[i]);
          dp0=newDp0;
          dp1=newDp1;
        }
        return dp0;
    }
    }

**F2、贪心算法（针对这道问题的特殊解法）**  
贪心算法的直觉：由于不限制交易次数，只要今天股价比昨天高，就交易。

下面对这个算法进行几点说明：

该算法仅可以用于计算，但 计算的过程并不是真正交易的过程，但可以用贪心算法计算题目要求的最大利润。下面说明等价性：以 \[1, 2, 3, 4\] 为例，这 4 天的股价依次上升，按照贪心算法，得到的最大利润是：

res =  (prices[3] - prices[2]) + (prices[2] - prices[1]) + (prices[1] - prices[0])
        =  prices[3] - prices[0]

为什么叫「贪心算法」  
回到贪心算法的定义：（下面是来自《算法导论（第三版）》第 16 章的叙述）  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoYXNzZA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

贪心算法 在每一步总是做出在当前看来最好的选择。

「贪心算法」 和 「动态规划」、「回溯搜索」 算法一样，完成一件事情，是 分步决策 的；  
「贪心算法」 在每一步总是做出在当前看来最好的选择，我是这样理解 「最好」 这两个字的意思：  
「最好」 的意思往往根据题目而来，可能是 「最小」，也可能是 「最大」；  
贪心算法和动态规划相比，它既不看前面（也就是说它不需要从前面的状态转移过来），也不看后面（无后效性，后面的选择不会对前面的选择有影响），因此贪心算法时间复杂度一般是线性的，空间复杂度是常数级别的；  
这道题 「贪心」 的地方在于，对于 「今天的股价 - 昨天的股价」，得到的结果有 3 种可能：① 正数，② 00，③负数。贪心算法的决策是： 只加正数 。

public class Solution {
        
    
        public int maxProfit(int[] prices) {
        
            int len = prices.length;
            if (len < 2) {
        
                return 0;
            }
    
            int res = 0;
            for (int i = 1; i < len; i++) {
        
                int diff = prices[i] - prices[i - 1];
                if (diff > 0) {
        
                    res += diff;
                }
            }
            return res;
        }
    }

复杂度分析：

时间复杂度：O(N)O(N)，这里 NN 表示股价数组的长度；  
空间复杂度：O(1)O(1)。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoYXNzZA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221005/32fa89e779474fd0b807f146c9d7db47.png