一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

- 日理万妓 2022-09-27 14:25 169阅读 0赞

最近在看深度学习的东西，一开始看的吴恩达的UFLDL教程，有中文版就直接看了，后来发现有些地方总是不是很明确，又去看英文版，然后又找了些资料看，才发现，中文版的译者在翻译的时候会对省略的公式推导过程进行补充，但是补充的又是错的，难怪觉得有问题。反向传播法其实是神经网络的基础了，但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题，或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了，其实不难，就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式，可以直接把数值带进去，实际的计算一下，体会一下这个过程之后再来推导公式，这样就会觉得很容易了。

说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：

![853467-20160630140644406-409859737.png][]

这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层，我们现在手里有一堆数据\{x1,x2,x3,...,xn\},输出也是一堆数据\{y1,y2,y3,...,yn\},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。

本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[\[Mechine Learning & Algorithm\] 神经网络基础][Mechine Learning _ Algorithm_]）

假设，你有这样一个网络层：

![853467-20160630141449671-1058672778.png][]

第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

现在对他们赋上初值，如下图：

![853467-20160630142019140-402363317.png][]

其中，输入数据  i1=0.05，i2=0.10;

输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

初始权重  w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.88

目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

Step 1 前向传播

1.输入层---->隐含层：

计算神经元h1的输入加权和：

![853467-20160630142915359-294460310.png][]

神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

![853467-20160630150115390-1035378028.png][]

同理，可计算出神经元h2的输出o2：

![853467-20160630150244265-1128303244.png][]

2.隐含层---->输出层：

计算输出层神经元o1和o2的值：

![853467-20160630150517109-389457135.png][]

![853467-20160630150638390-1210364296.png][]

这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为\[0.75136079 , 0.772928465\]，与实际值\[0.01 , 0.99\]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差：(square error)

![853467-20160630151201812-1014280864.png][]

但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：

![853467-20160630151457593-1250510503.png][]

![853467-20160630151508999-1967746600.png][]

![853467-20160630151516093-1257166735.png][]

2.隐含层---->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）

![853467-20160630151916796-1001638091.png][]

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

![853467-20160630152018906-1524325812.png][]

现在我们来分别计算每个式子的值：

计算![853467-20160630152206781-7976168.png][]：

![853467-20160630152258437-1960839452.png][]

计算![853467-20160630152417109-711077078.png][]：

![853467-20160630152511937-1667481051.png][]

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）

计算![853467-20160630152625593-2083321635.png][]：

![853467-20160630152658109-214239362.png][]

最后三者相乘：

![853467-20160630152811640-888140287.png][]

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。

回过头来再看看上面的公式，我们发现：

![853467-20160630153103187-515052589.png][]

为了表达方便，用![853467-20160630153202812-585186566.png][]来表示输出层的误差：

![853467-20160630153251234-1144531293.png][]

因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：

![853467-20160630153405296-436656179.png][]

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：

![853467-20160630153514734-1544628024.png][]

最后我们来更新w5的值：

![853467-20160630153614374-1624035276.png][]

（其中，![853467-20160630153700093-743859667.png][]是学习速率，这里我们取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

![853467-20160630153807624-1231975059.png][]

3.隐含层---->隐含层的权值更新：

方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

![853467-20160630154317562-311369571.png][]

计算![853467-20160630154712202-1906007645.png][]：

![853467-20160630154758531-934861299.png][]

先计算![853467-20160630154958296-1922097086.png][]：

![853467-20160630155015546-1106216279.png][]

![853467-20160630155036406-964647962.png][]

![853467-20160630155117656-1905928379.png][]

![853467-20160630155158468-157032005.png][]

同理，计算出：

![853467-20160630155310937-2103938446.png][]

两者相加得到总值：

![853467-20160630155435218-396769942.png][]

再计算![853467-20160630155555562-1422254830.png][]：

![853467-20160630155628046-229505495.png][]

再计算![853467-20160630155731421-239852713.png][]：

![853467-20160630155706437-964861747.png][]

最后，三者相乘：

![853467-20160630155827718-189457408.png][]

为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：

![853467-20160630160345281-679307550.png][]

最后，更新w1的权值：

![853467-20160630160523437-1906004593.png][]

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

![853467-20160630160603484-1471434475.png][]

这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为\[0.015912196,0.984065734\](原输入为\[0.01,0.99\]),证明效果还是不错的。

代码(Python):

![复制代码][copycode.gif]

1 #coding:utf-8
      2 import random
      3 import math
      4 
      5 #
      6 #   参数解释：
      7 #   "pd_" ：偏导的前缀
      8 #   "d_" ：导数的前缀
      9 #   "w_ho" ：隐含层到输出层的权重系数索引
     10 #   "w_ih" ：输入层到隐含层的权重系数的索引
     11 
     12 class NeuralNetwork:
     13     LEARNING_RATE = 0.5
     14 
     15     def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):
     16         self.num_inputs = num_inputs
     17 
     18         self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
     19         self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)
     20 
     21         self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
     22         self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)
     23 
     24     def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
     25         weight_num = 0
     26         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
     27             for i in range(self.num_inputs):
     28                 if not hidden_layer_weights:
     29                     self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
     30                 else:
     31                     self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
     32                 weight_num += 1
     33 
     34     def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
     35         weight_num = 0
     36         for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
     37             for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
     38                 if not output_layer_weights:
     39                     self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
     40                 else:
     41                     self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
     42                 weight_num += 1
     43 
     44     def inspect(self):
     45         print('------')
     46         print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))
     47         print('------')
     48         print('Hidden Layer')
     49         self.hidden_layer.inspect()
     50         print('------')
     51         print('* Output Layer')
     52         self.output_layer.inspect()
     53         print('------')
     54 
     55     def feed_forward(self, inputs):
     56         hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
     57         return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)
     58 
     59     def train(self, training_inputs, training_outputs):
     60         self.feed_forward(training_inputs)
     61 
     62         # 1. 输出神经元的值
     63         pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
     64         for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
     65 
     66             # ∂E/∂zⱼ
     67             pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])
     68 
     69         # 2. 隐含层神经元的值
     70         pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
     71         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
     72 
     73             # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ
     74             d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
     75             for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
     76                 d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]
     77 
     78             # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂
     79             pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()
     80 
     81         # 3. 更新输出层权重系数
     82         for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
     83             for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):
     84 
     85                 # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ
     86                 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)
     87 
     88                 # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
     89                 self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
     90 
     91         # 4. 更新隐含层的权重系数
     92         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
     93             for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):
     94 
     95                 # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ
     96                 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)
     97 
     98                 # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
     99                 self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
    100 
    101     def calculate_total_error(self, training_sets):
    102         total_error = 0
    103         for t in range(len(training_sets)):
    104             training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
    105             self.feed_forward(training_inputs)
    106             for o in range(len(training_outputs)):
    107                 total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
    108         return total_error
    109 
    110 class NeuronLayer:
    111     def __init__(self, num_neurons, bias):
    112 
    113         # 同一层的神经元共享一个截距项b
    114         self.bias = bias if bias else random.random()
    115 
    116         self.neurons = []
    117         for i in range(num_neurons):
    118             self.neurons.append(Neuron(self.bias))
    119 
    120     def inspect(self):
    121         print('Neurons:', len(self.neurons))
    122         for n in range(len(self.neurons)):
    123             print(' Neuron', n)
    124             for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
    125                 print('  Weight:', self.neurons[n].weights[w])
    126             print('  Bias:', self.bias)
    127 
    128     def feed_forward(self, inputs):
    129         outputs = []
    130         for neuron in self.neurons:
    131             outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
    132         return outputs
    133 
    134     def get_outputs(self):
    135         outputs = []
    136         for neuron in self.neurons:
    137             outputs.append(neuron.output)
    138         return outputs
    139 
    140 class Neuron:
    141     def __init__(self, bias):
    142         self.bias = bias
    143         self.weights = []
    144 
    145     def calculate_output(self, inputs):
    146         self.inputs = inputs
    147         self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
    148         return self.output
    149 
    150     def calculate_total_net_input(self):
    151         total = 0
    152         for i in range(len(self.inputs)):
    153             total += self.inputs[i] * self.weights[i]
    154         return total + self.bias
    155 
    156     # 激活函数sigmoid
    157     def squash(self, total_net_input):
    158         return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))
    159 
    160 
    161     def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
    162         return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();
    163 
    164     # 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的
    165     def calculate_error(self, target_output):
    166         return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2
    167 
    168     
    169     def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
    170         return -(target_output - self.output)
    171 
    172     
    173     def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
    174         return self.output * (1 - self.output)
    175 
    176 
    177     def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
    178         return self.inputs[index]
    179 
    180 
    181 # 文中的例子:
    182 
    183 nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)
    184 for i in range(10000):
    185     nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
    186     print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))
    187 
    188 
    189 #另外一个例子，可以把上面的例子注释掉再运行一下:
    190 
    191 # training_sets = [
    192 #     [[0, 0], [0]],
    193 #     [[0, 1], [1]],
    194 #     [[1, 0], [1]],
    195 #     [[1, 1], [0]]
    196 # ]
    197 
    198 # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
    199 # for i in range(10000):
    200 #     training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
    201 #     nn.train(training_inputs, training_outputs)
    202 #     print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

![复制代码][copycode.gif]

最后写到这里就结束了，现在还不会用latex编辑数学公式，本来都直接想写在草稿纸上然后扫描了传上来，但是觉得太影响阅读体验了。以后会用公式编辑器后再重把公式重新编辑一遍。稳重使用的是sigmoid激活函数，实际还有几种不同的激活函数可以选择，具体的可以参考文献\[3\]，最后推荐一个在线演示神经网络变化的网址：http://www.emergentmind.com/neural-network，可以自己填输入输出，然后观看每一次迭代权值的变化，很好玩~如果有错误的或者不懂的欢迎留言：）

参考文献：

1.Poll的笔记：[\[Mechine Learning & Algorithm\] 神经网络基础][Mechine Learning _ Algorithm_]（http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html\#3457159 ）

2.Rachel\_Zhang:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797

3.http://www.cedar.buffalo.edu/%7Esrihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

4.https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/

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# 作者：Charlotte77     #

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[Mechine Learning _ Algorithm_]: http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html
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