反向传播算法(Backpropagation)----Gradient Descent的推导过程

た入场券 2023-02-21 09:16 14阅读 0赞

**BP算法是适用于多层神经网络的一种算法，它是建立在梯度下降法的基础上的。本文着重推导怎样利用梯度下降法来minimise Loss Function。**

### 目录 ###

*   *  1.定义Loss Function
     *  2.Gradient Descent
     *  3.求偏微分
     *  4.反向传播
     *  5.总结

给出多层神经网络的示意图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70]

## 1.定义Loss Function ##

假设有一组数据样本 x 1 x^\{1\} x1， x 2 x^\{2\} x2，… ，每一个x都有很多个特征，输入x，会得到一个输出y，每一个输出都对应一个损失函数L，将所有L加起来就是total loss。  
那么每一个L该如何定义呢？这里还是采用了交叉熵，如下所示：  
![在这里插入图片描述][2020062922540375.gif_pic_center]  
这里的 y i y^\{i\} yi是真实输出， y ^ y\\hat\{\} y^是y target，是人为定义的。最终Total Loss的表达式如下：  
![在这里插入图片描述][20200629225904548.gif_pic_center]

## 2.Gradient Descent ##

L对应了一个参数，即Network parameters θ(w1,w2…b1,b2…)，那么Gradient Descent就是求出参数 θ ∗ \\theta^\{\*\} θ∗来minimise Loss Function，即：  
![在这里插入图片描述][20200630203928187.gif_pic_center]  
梯度下降的具体步骤为：  
![图源：李宏毅机器学习讲稿][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 3.求偏微分 ##

从上图可以看出，这里难点主要是求偏微分，**由于L是所有损失之和，因此我们只需要对其中一个损失求偏微分，最后再求和即可。**  
先抽取一个简单的神经元来解释：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
先理一理各个变量之间的关系：我们要求的是Total Loss对参数w的偏导，而Total Loss是一个个小的l累加得到的，因此，我们只需要求得 ∂ l ∂ w \\frac\{\\partial l\}\{\\partial w\} ∂w∂l，而 l = − y ^ l n y l=-\\hat\{y\}lny l=−y^lny，其中 y ^ \\hat\{y\} y^是人为定义的，跟w没有关系，因此我们只需要知道 ∂ y ∂ w \\frac\{\\partial y\}\{\\partial w\} ∂w∂y。l跟z有关系，根据链式求导法则，我们需要求 ∂ l ∂ z \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\} ∂z∂l和 ∂ z ∂ w \\frac\{\\partial z\}\{\\partial w\} ∂w∂z，其中 ∂ z ∂ w \\frac\{\\partial z\}\{\\partial w\} ∂w∂z的求解较为容易，如下图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
求 ∂ l ∂ z \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\} ∂z∂l是一个难点，因为我们并不知道后面到底有多少层，也不知道情况到底有多复杂，我们不妨先取一种最简单的情况，如下所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

## 4.反向传播 ##

在第一张图里面，我们经过**正向传播**很容易求出了 ∂ z ∂ w \\frac\{\\partial z\}\{\\partial w\} ∂w∂z，而对于 ∂ l ∂ z \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\} ∂z∂l，则并不是那么好求。上图其实就是运用了**反向传播**的思想， 对于上图中 ∂ l ∂ z \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\} ∂z∂l最后的表达式，我们可以换一种结构，如下所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
l对两个z的偏导我们假设是已知的，并且在这里是作为输入，三角形结构可以理解为一个乘法运算电路，其放大系数为 σ ′ ( z ) \\sigma \{\}'(z) σ′(z)。但是在实际情况中，**l对两个z的偏导是未知的**。假设神经网络最终的结构就是如上图所示，那么我们的问题已经解决了：  
![在这里插入图片描述][20200630212943799.png]  
其中：  
![在这里插入图片描述][20200630213249452.gif_pic_center]  
但是假如该神经元不是最后一层，我们又该如何呢？比如又多了一层，如下所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
那么我们只要知道 ∂ l ∂ z a \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{a\}\} ∂za∂l和 ∂ l ∂ z b \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{b\}\} ∂zb∂l，我们同样可以算出 ∂ l ∂ z ′ \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\{\}'\} ∂z′∂l以及 ∂ l ∂ z ′ ′ \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\{\}''\} ∂z′′∂l，原理跟上面类似，如下所示：

![在这里插入图片描述][2020063021475672.gif_pic_center]  
 ∂ l ∂ z b \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{b\}\} ∂zb∂l同样是l先对y求导，y再对 z b z\_\{b\} zb求导。

那假设我们再加一层呢？再加两层呢？再加三层呢？。。。，情况还是一样的，还是先求l对最后一层z的导数，乘以权重相加后最后再乘上 σ ′ ( z ′ ′ , z ′ ′ ′ , . . . ) \\sigma \{\}'(z\{\}'',z\{\}''',...) σ′(z′′,z′′′,...)即可。  
最后给一个实例：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
它的反向传播图长这样：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
我们可以很轻松的算出 ∂ l ∂ z 5 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{5\}\} ∂z5∂l和 ∂ l ∂ z 6 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{6\}\} ∂z6∂l，算出这两个之后，根据上面我们找到的关系式，我们也可以轻易算出 ∂ l ∂ z 3 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{3\}\} ∂z3∂l和 ∂ l ∂ z 4 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{4\}\} ∂z4∂l，最后再算出 ∂ l ∂ z 1 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{1\}\} ∂z1∂l和 ∂ l ∂ z 2 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{2\}\} ∂z2∂l。然后 ∂ l ∂ z 1 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{1\}\} ∂z1∂l和 ∂ l ∂ z 2 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\_\{2\}\} ∂z2∂l再分别乘上x1和x2，就是我们最终要找的 ∂ l ∂ w 1 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial w\_\{1\}\} ∂w1∂l和 ∂ l ∂ w 2 \\frac\{\\partial l\}\{\\partial w\_\{2\}\} ∂w2∂l。  
我们不难发现，这种计算方式很清楚明了地体现了“**反向传播**”四个字。  
**好了，目标达成！！**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0N5cmlsX0tJ_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

## 5.总结 ##

通过**Forward Pass**我们求得 ∂ z ∂ w = a \\frac\{\\partial z\}\{\\partial w\}=a ∂w∂z=a，然后通过**Backward Pass**我们求得 ∂ l ∂ z \\frac\{\\partial l\}\{\\partial z\} ∂z∂l，二者相乘，就是 ∂ l ∂ w \\frac\{\\partial l\}\{\\partial w\} ∂w∂l。利用上述方法求得所有参数的值之后，我们就可以用梯度下降法来更新参数，直至找到最优解。

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