线段树

迈不过友情╰ 2022-09-20 09:13 274阅读 0赞

[http://www.cnblogs.com/shuaiwhu/archive/2012/04/22/2464583.html][http_www.cnblogs.com_shuaiwhu_archive_2012_04_22_2464583.html]

## [线段树(segment tree)][http_www.cnblogs.com_shuaiwhu_archive_2012_04_22_2464583.html] ##

线段树在一些acm题目中经常见到，这种数据结构主要应用在计算几何和地理信息系统中。下图就为一个线段树：

(PS：可能你见过线段树的不同表示方式，但是都大同小异，根据自己的需要来建就行。)

![2012042202502850.png][]

**1.线段树基本性质和操作**

线段树是一棵二叉树，记为T(a, b)，参数a,b表示区间\[a,b\]，其中b-a称为区间的长度，记为L。

线段树T(a,b)也可递归定义为：

若L>1 :  [a, (a+b) div 2]为 T的左儿子；
    
                 [(a+b) div 2,b]为T 的右儿子。 
    
    若L=1 : T为叶子节点。

线段树中的结点一般采取如下数据结构：

struct Node
    {
        int   left,right;  //区间左右值
        Node   *leftchild;
        Node   *rightchild;    
    };

**线段树的建立：**

![复制代码][copycode.gif]

Node   *build(int   l ,  int r ) //建立二叉树
    {
        Node   *root = new Node;
        root->left = l;
        root->right = r;     //设置结点区间
        root->leftchild = NULL;
        root->rightchild = NULL;
    
        if ( l +1< r )
        {
           int  mid = (r+l) >>1;
           root->leftchild = build ( l , mid ) ;
           root->rightchild = build ( mid  , r) ; 
        } 
    
        return    root; 
    }

![复制代码][copycode.gif]

**线段树中的线段插入和删除**：

增加一个cover的域来计算一条线段被覆盖的次数，因此在建立二叉树的时候应顺便把cover置0。

插入一条线段\[c,d\]：

![复制代码][copycode.gif]

void  Insert(int  c, int d , Node  *root )
    {
           if(c<= root->left&&d>= root->right) 
               root-> cover++;
           else 
           {
               if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->leftchild  );
               if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->rightchild  );
           }
    }

![复制代码][copycode.gif]

删除一条线段\[c,d\]:

![复制代码][copycode.gif]

void  Delete (int c , int  d , Node  *root )
    {
           if(c<= root->left&&d>= root->right) 
               root-> cover= root-> cover-1;
           else 
           {
              if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->leftchild  );
              if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->rightchild );
           }
    }

![复制代码][copycode.gif]

2.线段树的运用

线段树的每个节点上往往都增加了一些其他的域。在这些域中保存了某种动态维护的信息，视不同情况而定。这些域使得线段树具有极大的灵活性，可以适应不同的需求。

**例一：**

桌子上零散地放着若干个盒子，桌子的后方是一堵墙。如图所示。现在从桌子的前方射来一束平行光， 把盒子的影子投射到了墙上。问影子的总宽度是多少？

![2012042202570579.png][]

这道题目是一个经典的模型。在这里，我们略去某些处理的步骤，直接分析重点问题，可以把题目抽象地描述如下：x轴上有若干条线段，求线段覆盖的总长度，即S1+S2的长度。

![2012042203002322.png][]

**2.1最直接的做法：**

设线段坐标范围为\[min,max\]。使用一个下标范围为\[min,max-1\]的一维数组，其中数组的第i个元素表示\[i,i+1\]的区间。数组元素初始化全部为0。对于每一条区间为\[a,b\]的线段，将\[a,b\]内所有对应的数组元素均设为1。最后统计数组中1的个数即可。

初始     0   0  0  0  0
    [1，2]   1   0  0  0  0
    [3，5]   1   0  1  1  0
    [4，6]   1   0  1  1  1
    [5，6]   1   0  1  1  1

其缺点是时间复杂度决定于下标范围的平方，当下标范围很大时（\[0,10000\]），此方法效率太低。

**2.2离散化的做法：**

基本思想：先把所有端点坐标从小到大排序，将坐标值与其序号一一对应。这样便可以将原先的坐标值转化为序号后，对其应用前一种算法，再将最后结果转化回来得解。该方法对于线段数相对较少的情况有效。

示例:

\[10000,22000\]   \[30300,55000\]   \[44000,60000\]   \[55000,60000\]

排序得10000，22000，30300，44000，55000，60000

对应得1， 2， 3， 4， 5， 6

然后是 \[1,2\]     \[3,5\]    \[4,6\]    \[5,6\]

初始     0   0  0  0  0
    [1，2]   1   0  0  0  0
    [3，5]   1   0  1  1  0
    [4，6]   1   0  1  1  1
    [5，6]   1   0  1  1  1

10000，22000，30300，44000，55000，60000

1，       2，        3，       4，       5，       6

![2012042203071040.png][]

(22000-10000)+(60000-30300)=41700

此方法的时间复杂度决定于线段数的平方，对于线段数较多的情况此方法效率太低。

**2.3使用线段树的做法：**

给线段树每个节点增加一个域cover。cover=1表示该结点所对应的区间被完全覆盖，cover=0表示该结点所对应的区间未被完全覆盖。

如下图的线段树，添加线段\[1,2\]\[3,5\]\[4,6\]

![2012042203205464.png][]

插入算法：

![复制代码][copycode.gif]

void   Insert(Node  *root , int  a , int  b)
    {
        int m;
        if( root ->cover == 0) 
        { 
            
            m = (root->left+ root->right)/2 ;
            if (a == root->left && b == root->right) 
                root ->cover =1;
            else if (b <= m)  Insert(root->leftchild , a, b);
            else if (a >= m)  Insert(root->rightchild , a, b);
            else 
            {    
                    Insert(root->leftchild ,a, m);
                    Insert(root->rightchild , m, b);
            }
        }
    }

![复制代码][copycode.gif]

统计算法：

![复制代码][copycode.gif]

int  Count(Node *root)
    {
        int  m,n;
        if (root->cover == 1)
                return   (root-> right - root-> left);
        else if (root-> right - root-> left== 1 )return 0;
        m= Count(root->leftchild);
         n= Count(root->rightchild);
        return m+n;
    }

![复制代码][copycode.gif]

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[2012042202502850.png]: /images/20220828/f9e010489810478693d9654615c176dd.png
[copycode.gif]: /images/20220828/2eaa14873b814c35abe6fb604ea41660.png
[2012042202570579.png]: /images/20220828/0e4c21eccf04438a908874e1995d7937.png
[2012042203002322.png]: /images/20220828/ca71a60297864554b19d691c088e5c4c.png
[2012042203071040.png]: /images/20220828/c244724066d348bd8e31b8b83fc7b8bb.png
[2012042203205464.png]: /images/20220828/de54381c79ac42ae885651effdcb423f.png