冲激函数——信号采样的利器

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-09-16 11:27 989阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  冲激函数(Impulse Function)的数学定义
 *  对连续信号的采样
 *  冲激函数对任意位置的扩展应用
 *  对离散情况也适用
 *  对信号的采样
 *  冲激函数的高级扩展
 *   *  傅里叶分析
     *  卷积

# 冲激函数(Impulse Function)的数学定义 #

δ ( t ) = \{ ∞ t = 0 0 t ≠ 0 \\delta(t) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} \\infty & t = 0 \\\\ 0 & t \\neq 0 \\end\{matrix\}\\right. δ(t)=\{ ∞0t=0t=0

所谓冲激函数，它所表示的是在某一时刻有一个近乎无限大，而在其他时刻时什么也没有的特殊函数。而这样这样的函数它的积分又有如下性质：

∫ δ ( t ) d t = 1 \\int \\delta (t) dt = 1 ∫δ(t)dt=1

在数学领域，有很多这样被发明出来的工具，尽管证明这样的函数它的积分为什么是1而不是无穷，很困难。但是它在信号采样领域里却十分好用，所以接下来我们来看看它在信号采样里是怎么使用的。

# 对连续信号的采样 #

首先怎么理解冲激函数，如果把  t t t 理解为时间，它的概念就是一个幅度无限，然而持续时间近乎于0（不完全是0）的脉冲信号，或者尖峰信号（这当然是理想情况，事实上现实中任何信号都有一定程度的持续时间，或者称为衰减时间，这个持续时间往往  > t 0 > t\_0 >t0 的）。

由于冲激函数的这个特点，使得它对于取样有如下的积分特性：

∫ f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) \\int f(t) \\delta(t) dt = f(0) ∫f(t)δ(t)dt=f(0)

其中， f ( t ) f(t) f(t) 表示的是连续的信号，那么 f ( 0 ) f(0) f(0) 自然就表示对于连续信号  f ( t ) f(t) f(t) 在  t = 0 t = 0 t=0 处的幅值，或者说是函数  f ( t ) f(t) f(t) 在冲激位置的值，或者采样值。

听起来有点拗口？其实很好理解，因为  δ ( t ) \\delta(t) δ(t) 只在  t = 0 t=0 t=0 时有值，而在其他位置都为0，所以  f ( t ) δ ( t ) → f ( 0 ) f(t) \\delta(t) \\rightarrow f(0) f(t)δ(t)→f(0)，自然就可以得到：

∫ f ( t ) δ ( t ) d t = ∫ f ( 0 ) δ ( 0 ) d t 0 = f ( 0 ) ∫ δ ( 0 ) d t 0 = f ( 0 ) \\int f(t) \\delta(t) dt = \\int f(0) \\delta(0) dt\_0 = f(0) \\int \\delta(0) dt\_0 = f(0) ∫f(t)δ(t)dt=∫f(0)δ(0)dt0=f(0)∫δ(0)dt0=f(0)

# 冲激函数对任意位置的扩展应用 #

**由于冲激函数与任何连续函数的乘积，最终只留下连续函数在冲激位置的值** 这种特性，所以研究信号学领域的研究员们自然就产生了把这种只在  t = 0 t=0 t=0 时才有意义扩展应用到任意时刻的  t 0 t\_0 t0。所以有了如下的公式推导：

∫ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) \\int f(t) \\delta(t - t\_0) dt = f(t\_0) ∫f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)

这相当于给冲激函数装了一对轮子，让它可以从  t = 0 t = 0 t=0 滑动到任意的  t = t 0 t = t\_0 t=t0 时刻。所以，如果  f ( t ) = c o s ( t ) f(t) = cos(t) f(t)=cos(t)，那么根据上式试图需要得到  t = t − π t = t - \\pi t=t−π 处的值，就可以带入公式

∫ f ( t ) δ ( t − ( t − π ) ) d t = ∫ f ( t ) δ ( π ) d t = f ( π ) = c o s π = − 1 \\int f(t) \\delta(t -(t-\\pi)) dt = \\int f(t) \\delta(\\pi) dt = f(\\pi) = cos \\pi = -1 ∫f(t)δ(t−(t−π))dt=∫f(t)δ(π)dt=f(π)=cosπ=−1

有点画蛇添足是不是？但是如果有一个非常复杂的函数，这个适合的取样概念就非常有用了。

# 对离散情况也适用 #

离散时，稍微跟连续的表达方式有所不同。首先由于记录离散数据实质是一个一个的点，所以通常没有连续的时间概念，时间  t t t 在离散公式里就改成了表示点的  x x x。

其次，在0点时，它的值是1，而不是无穷。

δ ( x ) = \{ 1 x = 0 0 x ≠ 0 \\delta(x) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} 1 & x = 0 \\\\ 0 & x \\neq 0 \\end\{matrix\}\\right. δ(x)=\{ 10x=0x=0

所以其求和公式就表示为：

∑ δ ( x ) = 1 \\sum \\delta(x) = 1 ∑δ(x)=1

同样，离散的取样特性也表示为：

∑ f ( x ) δ ( x ) = f ( 0 ) \\sum f(x) \\delta(x) = f(0) ∑f(x)δ(x)=f(0)

或者表示为更一般的形式

∑ f ( x ) δ ( x − x 0 ) = f ( x 0 ) \\sum f(x) \\delta(x - x\_0) = f(x\_0) ∑f(x)δ(x−x0)=f(x0)

# 对信号的采样 #

现在我们有了采样的工具，是时候考虑一下对于连续信号的采样了。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

现在我们在轴上按一定的间距 T 部署一系列的冲击函数，或者称为冲激串，依据冲激函数的特点于是就可以对上面这个信号进行采样。

S ( t ) = ∑ f ( x ) δ ( t − n T ) S(t) = \\sum f(x) \\delta (t - nT) S(t)=∑f(x)δ(t−nT)

通常我们在这里  S ( t ) S(t) S(t) 不表示为这组冲击函数的值的和，而是表示为冲激函数采样后数据的集合。

# 冲激函数的高级扩展 #

从冲激函数的概念，就可能很容易扩展出高级应用概念，比如说卷积、傅里叶分析等。而关于这些扩展内容，你可以参考我写的相关内容：

## 傅里叶分析 ##

*  [浅谈傅里叶——1. 从无穷级数到欧拉公式][1.]
 *  [浅谈傅里叶——2. 连续傅里叶公式推导与三角函数正交性][2.]
 *  [浅谈傅里叶——3. 傅立叶收敛性证明与非周期信号的推广][3.]
 *  [浅谈傅里叶——4. 傅里叶的特点分析与短时傅里叶][4.]
 *  [浅谈傅里叶——5. 短时傅里叶的缺点与卷积的基本概念][5.]
 *  [浅谈傅里叶——6. 采样、频率与一个简易的DFT函数][6. _DFT]
 *  [浅谈傅里叶——7. 带有相位信息的一维DFT实现方法][7. _DFT]
 *  [浅谈傅里叶——8. 一维iDFT的实现][8. _iDFT]

## 卷积 ##

*  [卷积计算——1. 关于卷积的基本概念][1. 1]
 *  [卷积计算——2. 一些常用于图像的卷积核与应用][2. 1]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20220828/96178141874e45f2aec09f9e3d72c29d.png
[1.]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/80840211
[2.]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/80896471
[3.]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/80914127
[4.]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/81004560
[5.]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/81029266
[6. _DFT]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/113789264
[7. _DFT]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/114127894
[8. _iDFT]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/114275642
[1. 1]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/114535427
[2. 1]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/114647076