捷联惯导坐标系相对转动与圆锥运动精简汇总

以你之姓@ 2022-09-10 13:13 10阅读 0赞

## 一、坐标系转动表达方式 ##

### 1、初等变换矩阵 ###

<1>坐标系变换矩阵

![P][]：从坐标系![I][]到坐标系![b][]的坐标系变换矩阵

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

<2>坐标变换矩阵

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

![P=C\_\{b\}^\{i\}][P_C_b_i]：为从坐标系![b][]到坐标系![I][]的坐标变换矩阵；

<3>初等变换矩阵

绕X轴旋转任意一个角度：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

绕Y轴旋转任意一个角度：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2][]

绕Z轴旋转任意一个角度：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3][]

举例：如果导航坐标系（东-北-天），经过三次旋转，旋转顺序：3-1-2(即：分别绕Z轴、X轴、Y轴旋转)得到载体坐标系，其转换矩阵为：

导航系到载体系的方向余弦矩阵为：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4][]

注：0系为导航坐标系(东-北-天)，3系为载体坐标系(右-前-上)

### 2、方向余弦阵微分方程/姿态阵微分方程： ###

（1）微分方程：

![2021090815042780.png][]

（2）方向余弦阵微分方程求解：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5][]

注：假设定轴转动，存在不可交换性误差。

### 3、四元数微分方程： ###

（1）微分方程：

![20210908150826605.png][]

（2）四元数微分方程求解：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_10_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

注：假设定轴转动，存在不可交换性误差。

### 4、等效旋转矢量微分方程： ###

（1）微分方程：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_19_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

简化：

![20210908153048548.png][]

用等效旋转矢量计算m-1时刻与m时刻之间，的变化旋转矢量：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_14_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

注：等号右边第二项，为修正量；第一项就时间间隔内，陀螺仪积分；其中Δθ为陀螺仪积分；

上式求导为：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_11_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

### 5、角速度、姿态阵、四元数、旋转矢量之间的关系 ###

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_13_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

（1）姿态阵与旋转矢量：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_15_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

（2）四元数与旋转矢量：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_11_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

注：其中u为单位长度的三维矢量；

或：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_13_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

（3）姿态阵与四元数关系：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 6][]

## 二、描述圆锥运动 ##

### 1、角运动和圆锥运动： ###

（1）圆锥现象验证：

具体步骤：通过假设圆锥环境下，

<1> IMU陀螺仪旋转轴和输出轴出现同频不同相的情况，得到三轴角速率；

<2> 利用两个时刻之间，变化四元数；通过四元数微分方程，得到四元数表示的角速度；

通过将<1> 与<2> 进行比较，得到圆锥现象！

（2）圆锥误差补偿算法：

前提是：在圆锥环境下，即Tm-1时刻与Tm时刻的四元数均为圆锥环境下定义的四元数；

<1>利用四元数更新方程，得到周期内的变化四元数，

<2>通过旋转矢量表达式，与<1>中的变化四元数相等，得到周期内的旋转矢量；

<3>将周期内的角速度积分，得到角增量，然后与<2>进行比较，两者做差（<2>减去<3>）即为圆锥运动环境下，的不可交换性误差；

（3）不可交换性误差补偿算法：

多项式角运动环境（基于泰勒级数展开的多子样算法）：

圆锥误差补偿多子样算法：

[P]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?P
[I]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?I
[b]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?b
[watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]: /images/20220829/d313ab63c0094736bd47ce41d85dae7c.png
[watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]: /images/20220829/75e8013813f04e268c88cfc2017d8335.png
[P_C_b_i]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?P%3DC_%7Bb%7D%5E%7Bi%7D
[watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]: /images/20220829/de0cfe6848414e57a7ed876d9c483b7a.png
[watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2]: /images/20220829/3913cc6a7b224cfe84d7fea8cf2ab86e.png
[watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3]: /images/20220829/8caf2c62e9a3448ba23bfab5e11b42df.png
[watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4]: /images/20220829/f08dc1efef494393b4337f708da108e0.png
[2021090815042780.png]: /images/20220829/e84ea72f827342a8a6bfe39df706ba97.png
[watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5p6v6I2j5pyJ5bi4_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5]: /images/20220829/0c27a81a75e043319b4aced599ec5c33.png
[20210908150826605.png]: /images/20220829/455ff9c3a0ce43d487f076df7c69d539.png
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