坐标轴的旋转及绕某一点旋转后坐标值求解

柔情只为你懂 2022-09-10 02:15 375阅读 0赞

## **坐标轴的旋转** ##

不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的坐标系的变换，叫做**坐标轴的旋转**．

![cbe167ccf92918242b8be36c16b511d4.png][]

设点*M*在原坐标系中的坐标为(*x,**y)*，对应向量的模为*r*，幅角为α．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角θ形成新坐标系，点*M*在新坐标系中的坐标为（如图2-4），则

![47ce23bce4983d8f31321edc1b514fc6.png][]

由此得到坐标轴的旋转的坐标变换公式

![d6634c43399b70c313836e03858b7ab7.png][]

--------------------

## 点绕点旋转 ##

**平面上一点x1,y1,绕平面上另一点x2,y2顺时针旋转θ角度 ，怎么求旋转后的x1,y1对应的坐标x，y**

**x=(x1-x2)cosθ-(y1-y2)sinθ+x2  
y=(y1-y2)cosθ+(x1-x2)sinθ+y2**

**求解过程如下：**

可以用[极坐标][Link 1]来理解，极坐标系也有两个坐标轴：*r*（半径坐标）和*θ*（角坐标）。r坐标表示与极点的距离，*θ*坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

![f4b7cdc43d9ad1f9bad5bb5b497cf85b.png][]

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值。

*x = r\**cos*（θ），*

*y = r\**sin*（θ），*

那么，我们以（x2,y2)为圆心，r为半径做圆（半径为点（x1,y1)到（x2,y2)距离）  
点（x1,y1)对应圆方程为：  
x1-x2=r\*cosθ1

y1-y2=r\*sinθ1

点（x，y）对应圆方程为：

x-x2=r\*cos(θ1+ θ)  
y-y2=r\*sin(θ2 +θ)

我们进一步对点（x，y）的方程做展开计算得到

x-x2=r\*cos(θ1+ θ) = r\*cosθ1\*cosθ-r\*sinθ1\*sinθ=(x1-x2)cosθ-(y1-y2)sinθ  
y-y2=r\*sin(θ2 +θ) = r\*sinθ1\*cosθ+r\*cosθ1\*sinθ=(y1-y2)cosθ+(x1-x2)sinθ

即：

x=(x1-x2)cosθ-(y1-y2)sinθ+x2

y=(y1-y2)cosθ+(x1-x2)sinθ+y2

[cbe167ccf92918242b8be36c16b511d4.png]: /images/20220829/9dec81dc94fe4b81874a8b3bfe5595b7.png
[47ce23bce4983d8f31321edc1b514fc6.png]: /images/20220829/479e37200e9f464ebfd952cf01762152.png
[d6634c43399b70c313836e03858b7ab7.png]: /images/20220829/a8ce3017d52c40e791ecf442ecbd3154.png
[Link 1]: http://www.baidu.com/s?wd=%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6
[f4b7cdc43d9ad1f9bad5bb5b497cf85b.png]: /images/20220829/c27082036f1c4f87b896473a2efcab48.png