汉诺塔的非递归算法

本是古典何须时尚 2022-08-26 13:21 183阅读 0赞

在版上看有人讨论汉诺塔的非递归算法，有人介绍怎么样非递归，自己想了半天，总算想明白了。整理了下方便大家：

汉诺塔问题介绍：  
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片，一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一概针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

递归算法:

定义 void Hanoi(char src, char des, char via, int n)  
表示把n个盘子从src上借助via移动到des上。  
显然有  
         void Hanoi(char src, char des, char via, int n)  
           \{  
                   Hanoi(src, via, des, n - 1);  
                   Move(src, des, n); //把第n个盘子直接从src移动到des  
                   Hanoi(via,des, src, n - 1);  
           \}

根据递归算法，设f(n)为n个盘子要移动的次数。  
那么显然 f(n + 1) = 2\*f(n) + 1   \->   \[f(n + 1) + 1\] = 2\*\[f(n) + 1\]  
f(1) = 1,-> f(n) + 1 = (1 + 1)^n -> f(n) = 2^n - 1。  
f(64)= 2^64-1=18446744073709551615 　　  
假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一年大约有 31536926 秒，计算表明移完这些金片需要5800多亿年，比地球寿命还要长，事实上，世界、梵塔、

庙宇和众生都已经灰飞烟灭。

非递归算法：  
定义从小到大的盘子序号分别为1，2，……n。  
可以用一个1到2^n - 1的2进制序列可以模拟出n个盘子的汉诺塔过程中被移动的盘子的序号序列。

即给定一个n，我们通过0到2^n - 1序列可以判断出任意一步应该移动那个盘子。  
判断方法：第m步移动的盘子序号是m用二进制表示的最低位bit为1的位置。

证明： n = 1，显然成立。  
假设n = k 成立。  
n = k + 1时，对应序列1到2^(k+1) - 1，显然这个序列关于2^k左右对称。  
假设我们要把k + 1个盘子从A移动C。  
那么2^k可以对应着Move(k + 1, A, C)。 1 到 2^k - 1 根据假设可以  
对应Hanoi(A, B, C, k)。至于2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1把最高位的1去掉对应序列变成1到2^k - 1，显然2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1和1到2^k - 1这两个序列中的对应元素的最低位bit为1的位置相同。因此2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1可以对应Hanoi(B, C，A，k)。  
所以对n = k + 1也成立。

下面讨论第m步应该移动对应的盘子从哪到哪？  
定义顺序为 A->B->C->A, 逆序为C->B->A->C。

性质对n个盘子的汉诺塔,任意一个盘子k(k <= n)k在整个汉诺塔的移动过程中要么一直顺序的，要么一直逆序的。而且如果k在n个盘子移动过程的顺序和k - 1(如果k > 1)以及k + 1(如果k < n)的顺序是反序。

比如：n = 3  
1 A->C  
2 A->B  
1 C->B  
3 A->C  
1 B->A  
2 B->C  
1 A->C  
其中1的轨迹A->C->B->A>C逆序，2的轨迹A->B->C顺序，3的轨迹A->C逆序  
           
证明：假设n <= k成立  
对于n = k + 1 根据递归算法  
Hanoi(A，C，B，k + 1) = Hanoi(A, B, C, k) + Move(A, C, k + 1) + Hanoi(B, C，A，k);

整个过程中盘子k + 1只移动一次A->C为逆序对应着2^k。

对于任意盘子m < k + 1,  
m盘子的移动由两部分组成一部分是前半部分Hanoi(A, B, C, k)以及后半部分的Hanoi(B, C，A，k)组成。显然有如果m在Hanoi(A, C, B, k)轨迹顺序的话，则m在Hanoi(A, B, C, k)以及Hanoi(B, C，A，k)都是逆序。反之亦然。这两部分衔接起来就会证明m在Hanoi(A，C，B，k)和Hanoi(A，C，B，k + 1)中是反序的。  
同时有Hanoi塔中最大的盘子永远是逆序且只移动1步，A->C。  
这样的话：

m = k + 1，在Hanoi(A，C，B，k + 1)中是逆序。  
m = k，由于在Hanoi(A，C，B，k)中是逆序的，所以Hanoi(A，C，B，k + 1)中是顺序的。  
m = k - 1，由于在Hanoi(A，C，B，k - 1)是逆序的，所以Hanoi(A，C，B，k)是顺序的，所以Hanoi(A，C，B，k + 1)是逆序的。  
依次下去……  
结论得证。

总结：在n个汉诺中n， n - 2, n - 4……是逆序移动，n - 1， n - 3，n - 5……是顺序移动。

有了以上结论，非递归的程序就很好写了。写了个递归和非递归比较程序：

\#include <iostream>  
using namespace std;

void Hanoi(char src, char des, char via, int n)  
\{  
  if(n == 1)  
  \{  
    cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;  
    return;  
  \}  
  Hanoi(src, via, des, n - 1);  
  cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;  
  Hanoi(via, des, src, n - 1);  
\}

int main()  
\{  
  int n;  
  cin >> n;  
       cout<<"recusive:"<< endl;  
  Hanoi('A','C','B', n);  
  cout << endl;  
  cout<<"normal:"<<endl;  
       char order\[2\]\[256\];  
  char pos\[64\];  
  order\[0\]\['A'\] = 'B';  
  order\[0\]\['B'\] = 'C';  
  order\[0\]\['C'\] = 'A';  
  order\[1\]\['A'\] = 'C';  
  order\[1\]\['B'\] = 'A';  
  order\[1\]\['C'\] = 'B';  
  //0是顺序 1是逆序  
  int index\[64\];  
  //确定轨迹的顺序还是逆序  
  int i, j, m;

for(i = n; i > 0; i -= 2)  
     index\[i\] = 1;  
  for(i = n - 1; i > 0; i -= 2)  
     index\[i\] = 0;  
       memset(pos, 'A', sizeof(pos));

for(i = 1; i < (1 << n); i ++)  
       \{  
       for(m = 1, j = i; j%2 == 0; j/=2, m ++);             
       cout << m <<" : "<< pos\[m\]   <<" --> " << order\[index\[m\]\]\[pos\[m\]\] << endl;                 
       pos\[m\] = order\[index\[m\]\]\[pos\[m\]\];  
       \}  
  return 0;  
\}