老虎与狗

怼烎@ 2022-08-10 11:51 157阅读 0赞

前几天，出了一题“猫与老鼠”，和“老虎与狗”是同一题。

一只老虎追一条狗，眼看追到，狗跳进一圆形水池。     
　　老虎不会水而狗会。     
　　假设狗游到池边而老虎不正好在那一点，狗就能逃脱。     
　　问：当老虎是狗（水中）的几倍速度时，狗就逃不掉？

刚才看了本论坛的答案，看来大家对老虎在大圆跑，狗在小圆跑并没什么异议，大家对答案最有疑问的的地方，主要是假设了老虎往一个方向追，为什么狗往小圆的切线跑时，老虎只会尽量接近它，而不是掉头跑，可以近一些？  
本人对这一疑问，有点心得，供大家探讨。  
其实，狗一旦离开小圆，老虎的追逐方向就会确定。为便于讨论，我们不妨设圆心为O，小狗在小圆上的起跑点为A，此时老虎的位置为B，那么AOB应该是直线，延长AOB，交大圆与C，设小狗逃跑的最终目标位为D，设大圆半径为R，老虎的速度是小狗的X倍，则小圆的半径为R/X。从B引小圆的切线，交大圆于E。   
为了便于说明问题，我们假设狗刚开始时，是从A向C方向跑，假设它跑了一小段路，跑到G，这时，老虎跑到F，显然角FOG<180度，然后狗决定往E方向跑，这时候，老虎即使知道狗的目的地，掉头跑可以近一些，它也不能掉头跑！！！如果老虎掉头的话，那么，随着时间的推移，老虎、圆心和狗的夹角会慢慢增大，直至180度！这时候，狗的位置在小圆外，即起跑点移到了小圆外，更有利于狗！因为我们假设狗也是非常聪明的，这时候，它又可以改变线路，老虎是陪了夫人又折兵，但毫无办法。所以老虎掉头跑是绝对不合算的，因此，狗跑出了小圆外，老虎的追击方向也就决定了。如果AG趋于无穷小，则实际上狗跑的是直线。  
如果以上说法成立，老虎的追击方向不变的话，那么狗逃跑的方向根本无须变换，它自然可以选择有利的登陆点，以直线方式跑过去（但不能跑入小圆内），以求用最快的速度到达登录点。  
设老虎的速度是狗的x倍，大圆半径为r，狗的速度为v，逃跑时圆心与狗连成的直线与登录点和圆心的连线所成的角为Q,则狗跑的距离s=r\*根号（1+1/x^2-2cosQ/x),  
所以（3.14+Q)r/(xv)=s/v，  
得x=cos(Q)+根号（（3.14159+Q）^2-(sinQ)^2)  
这是一个关于Q的函数，求出最大值即可。用计算机求得最大值x=4.603 ,Q=1.352  
这是一条切线。

求出是切线后，又产生另一个问题，能不能超过切线方向？因狗不能跑入小圆内，需要考虑狗按螺旋线跑的距离和按小圆弧加切线跑的距离哪个更短。结果是按小圆弧加切线跑的距离最短。大家可以参考一下“搞脑筋”惑今先生的想法：这里有一个简单直观的思路：假设小圆是一个圆柱，从A拉出一条绳子，想在超过切线的任何位置，要取得最短距离，拉直绳子，只不过是从另一个起点的切线而已……  
因此最佳逃跑方案是按切线跑！

那么能不能不求极值，在已知是按直线跑的情况下直接推导出按切线跑？

本人的想法是求函数x=cos(Q)+根号（（3.14159+Q）^2-(sinQ)^2)在Q0到90度之间是不是单调上升？可惜我大学学过的东西忘掉了，谁能帮忙证明一下？！！

下面是惑今先生的证明方法，大家可以看看，有问题可以直接到搞脑筋虚拟城市去提问，我不负责解答。  
设圆心为O，狗在小圆的点A，老虎在大圆的点B（AOB是直线——狗在最佳起点A）；线OA交大圆于C，A的切线交大圆于D，取AD上AE使AE=AC，连EC，DC。（这时基本图形）

首先讨论D以下的点，YOUJIAN已经讲得很清楚，这里有一个简单直观的思路：假设小圆是一个圆柱，从A拉出一条绳子，在D以下的任何位置，要想取得最短距离，拉直绳子，直不过是从另一个起点的切线而已……

关键是讨论角DAC内的变化！这里有一个概念先搞清：在狗选择沿角DAC内任何一条线走之前，狗沿AC走时，狗的速度与老虎的速度之比为1/1+PAI， 只有当狗沿着角DAC内某条直线走而导致狗增加的路程与老虎增加的路程之比小于1/1+PAI时，狗改变路线才有意义，否则还不如不变，沿AC走划算。

要搞清的第二个概念是：随着路线往D偏移，二者增加路程之比会越来越大（这一点随后证明），但只要增加路程之比不大于1/1+PAI，狗就可以继续往D偏移。（当然，如果能达到1/1+PAI是最划算的）

然后看图，当OA比OC为1/1+PAI时，因AE=AC，DA小于OC，故：DE小于OA，则DE比DA大于1/1+PAI，而角DAC为直角，DC大于DA，即DE比DC小于1/1+PAI。老虎的实际路线是圆弧更大于DC！证明D点是可取的。

而当在角DAC内时，（为方便讨论，各点字母不变）三角形DEC内DE比DC的值会更小，证明如下：由正弦定理可知，二者的比实际上是对角的正弦之比，当角DCE一定的情况下，角DEC越接近直角，比值越小，而随着角DAC的缩小，因为三角形AEC为等腰三角形，则角DEC会越来越接近直角，同时，角DCE也越来越小，二者的变化，直接导致角DCE和角DEC的正弦之比以更快的速度越来越小！换句话说，DE和DC的比值也越来越小！

此时，当然角DAC越大越好，只是由于条件所限，只能为直角！

证毕。

这片文章的题目是“关于逻辑推出切线方向的问题（答城市雨中）”

我相关论点的题目是“旧版难题征解：老虎和狗的故事（喜鹊）”，本人youjian