编辑距离Edit distance

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-08-05 04:29 350阅读 0赞

http://[blog.csdn.net/pipisorry/article/details/46383947][blog.csdn.net_pipisorry_article_details_46383947]

## 编辑距离Edit distance/Levenshtein distance-序列之间的距离 ##

X 和Y 的编辑距离定义为：从字符串strings X转换到 Y 需要的插入、删除、替换两个相邻的基本单位(字符)的最小个数。

给定 2 个字符串 a, b. 编辑距离是将 a 转换为 b 的最少操作次数，操作只允许如下 3 种：

1.  插入一个字符，例如：fj -> fxj
2.  删除一个字符，例如：fxj -> fj
3.  替换一个字符，例如：fxj -> fyj

如：  
ed (recoginze, recognize) = 1  
ed (sailn, failing) = 3

编辑距离是一个动态规划的问题。

编辑距离常用在英语单词拼写检查中，可以使用有限自动机实现\[宗成庆:《自然语言处理》讲义：第03章 形式语言与自动机及其在自然语言处理中的应用NLP-03+FL\_and\_ItsApp.pdf\]。

### 编辑距离与最长公共子序列LCS ###

![Center][]  
子串的定义：one string is a sub-sequence of another if we can get the first by deleting 0 or more positions from the second.the positions of the deleted characters did not have to be consecutive.  
计算x,y编辑距离的两种方式  
![Center 1][]

第一种方式中我们可以逆向编辑：we can get from y to x by doing the same edits in reverse.delete u and v,and then we insert a to get x.

\[海量数据挖掘Mining Massive Datasets(MMDs) -Jure Leskovec [courses][]学习笔记之局部敏感哈希LSH的距离度量方法\]

Note: lz代码证明了，并没有这种关系，这里只是一个特例碰巧而已，不知道是不是lcs定义不同还是怎么回事。如"bedaacbade"和 "dccaeedbeb"的lcs为5，而编辑距离为10，并没有以上关系。

### 扩展的编辑距离(Damerau-Levenshtein Distance) ###

扩展的编辑距离在思想上与编辑距离一样，只是除插入、删除和替换操作外，还支持 **相邻字符的交换** 这样一个操作，增加这个操作的考虑是人们在计算机上输入文档时的错误情况中，因为快速敲击而前后两个字符的顺序被输错的情况很常见。

[皮皮blog][blog]

# 编辑距离的动态规划解 #

## 思路 ##

用分治的思想解决比较简单，将复杂的问题分解成相似的子问题。

假设字符串 a, 共 m 位，从 `a[1]` 到 `a[m]，`字符串 b, 共 n 位，从 `b[1]` 到 `b[n]`  
`d[i][j]` 表示字符串 `a[1]-a[i]` 转换为 `b[1]-b[j]` 的编辑距离。

那么有如下递归规律（`a[i]` 和 `b[j]` 分别是当前要计算编辑距离的子字符串 a 和 b 的最后一位）：

1.  当 `a[i]` 等于 `b[j]` 时，`d[i][j] = d[i-1][j-1]`, 比如 fxy -> fay 的编辑距离等于 fx -> fa 的编辑距离
2.  当 `a[i]` 不等于 `b[j]` 时，`d[i][j]` 等于如下 3 项的最小值：
    
     *  `d[i-1][j]` \+ 1（删除 `a[i]`（删除等价于插入操作，相当于插入b中插入a\[i\[）），比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fx -> fab 的编辑距离 + 1
     *  `d[i][j-1]` \+ 1（删除 `b[j]或者插入b[j]`)，比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxyb -> fab 的编辑距离 + 1 = fxy -> fa 的编辑距离 + 1
     *  `d[i-1][j-1]` \+ 1（`将a[i]b[j]同时删除`（等价于交换操作）），比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxb -> fab 的编辑距离 + 1 = fx -> fa 的编辑距离 + 1

递归边界：

1.  `a[i][0] = i`, b 字符串为空，表示将 `a[1]-a[i]` 全部删除，所以编辑距离为 i
2.  `a[0][j] = j`, a 字符串为空，表示 a 插入 `b[1]-b[j]`，所以编辑距离为 j

## 递归思路代码 ##

按照上面的思路将代码写下来

int edit_distance(char *a, char *b, int i, int j)
    {
        if (j == 0) {
            return i;
        } else if (i == 0) {
            return j;
        // 算法中 a, b 字符串下标从 1 开始，c 语言从 0 开始，所以 -1
        } else if (a[i-1] == b[j-1]) {
            return edit_distance(a, b, i - 1, j - 1);
        } else {
            return min_of_three(edit_distance(a, b, i - 1, j) + 1,
                                edit_distance(a, b, i, j - 1) + 1,
                                edit_distance(a, b, i - 1, j - 1) + 1);
        }
    }
    
    edit_distance(stra, strb, strlen(stra), strlen(strb));

但是这个代码的性能很低下，时间复杂度是指数增长的，很多相同的子问题其实是经过了多次求解。

解决这类问题的办法是1 使用记忆

ins = dict()
 def edit_distance(w1, w2, i, j):
 if (i, j) in ins:
 return ins[(i, j)]
 if len(w1) <= i:
 return len(w2) - j
 if len(w2) <= j:
 return len(w1) - i
 
 if w1[i] == w2[j]:
 minl = edit_distance(w1, w2, i + 1, j + 1)
 else:
 minl = min(edit_distance(w1, w2, i + 1, j + 1), edit_distance(w1, w2, i, j + 1)
 , edit_distance(w1, w2, i + 1, j)) + 1
 ins[(i, j)] = minl
 return minl

2 使用动态规划。

## 用动态规划思想优化时间复杂度 ##

以上解决思路是从后往前算的，想知道 `edit_distance(a, b, i, j)` 就需要知道 `edit_distance(a, b, i-1, j-1)。`  
如果从前往后算，先算出各个子问题，然后根据子问题，计算出原问题。

例如以字符串 a = "ace", b = "abcdef" 为例：

1. 首先建立一个矩阵，用来存放子问题及原问题的编辑距离，并将递归边界在矩阵中填好，如下：
 
 <table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>&nbsp;</td> 
 <td> 0 </td> 
 <td> a </td> 
 <td> b </td> 
 <td> c </td> 
 <td> d </td> 
 <td> e </td> 
 <td> f </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 0 </td> 
 <td> &nbsp;0 </td> 
 <td> 1&nbsp; </td> 
 <td> 2 </td> 
 <td> 3 </td> 
 <td> &nbsp;4 </td> 
 <td> &nbsp;5 </td> 
 <td> &nbsp;6 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a </td> 
 <td> &nbsp;1 </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> e </td> 
 <td> &nbsp;3 </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 <td> &nbsp;&nbsp; </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
2. 然后计算 i = 1, j = 1 所对应的编辑距离：比较 `a[i]` 和 `b[j]` 是否相等然后根据递归规律算出这个值 
 比如在这种情况下 `a[i] = a` 和 `b[j] = a`, 那么 `d[i][j]` 就等于 `d[i-1][j-1]` 等于 0 
 然后计算 i = 1, j = 2 直到算出 i = 3, j = 6, 原问题的编辑距离就等于 `d[3][6]` 
 最终矩阵如下：
 
 <table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>&nbsp;</td> 
 <td> 0 </td> 
 <td> a </td> 
 <td> b </td> 
 <td> c </td> 
 <td> d </td> 
 <td> e </td> 
 <td> f </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 0 </td> 
 <td> &nbsp;0 </td> 
 <td> &nbsp;1 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;3 </td> 
 <td> &nbsp;4 </td> 
 <td> &nbsp;5 </td> 
 <td> &nbsp;6 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a </td> 
 <td> &nbsp;1 </td> 
 <td> &nbsp;0 </td> 
 <td> &nbsp;1 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;3 </td> 
 <td> &nbsp;4 </td> 
 <td> &nbsp;5 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;1 </td> 
 <td> &nbsp;1 </td> 
 <td> &nbsp;1 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;3 </td> 
 <td> &nbsp;4 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> e </td> 
 <td> &nbsp;3 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;2 </td> 
 <td> &nbsp;3 </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>

即要计算`d[i][j]`只需要知道3个位置上的值。

代码如下：

int edit_distance(char *a, char *b){
 int lena = strlen(a);
 int lenb = strlen(b);
 int d[lena+1][lenb+1];
 int i, j;
 
 for (i = 0; i <= lena; i++) {
 d[i][0] = i;
 }
 for (j = 0; j <= lenb; j++) {
 d[0][j] = j;
 }
 
 for (i = 1; i <= lena; i++) {
 for (j = 1; j <= lenb; j++) {
 // 算法中 a, b 字符串下标从 1 开始，c 语言从 0 开始，所以 -1
 if (a[i-1] == b[j-1]) {
 d[i][j] = d[i-1][j-1];
 } else {
 d[i][j] = min_of_three(d[i-1][j]+1, d[i][j-1]+1, d[i-1][j-1]+1);
 }
 }
 }
 
 return d[lena][lenb];
 }

def edit_distance(w1, w2):
        len1 = len(w1)
        len2 = len(w2)
        matrix = [[0 for _ in range(len2 + 1)] for _ in range(len1 + 1)]
        for j in range(len2):
            matrix[0][j + 1] = j + 1
        for i in range(len1):
            matrix[i + 1][0] = i + 1
    
        for i in range(1, len1 + 1):
            for j in range(1, len2 + 1):
                if w1[i - 1] == w2[j - 1]:
                    matrix[i][j] = matrix[i - 1][j - 1]
                else:
                    matrix[i][j] = min(matrix[i - 1][j], matrix[i - 1][j - 1], matrix[i][j - 1]) + 1
        return matrix[len1][len2]

这个算法的时间复杂度为O(mn)。

空间复杂度为 O(mn)，空间复杂度可以继续优化，因为计算矩阵某位置值的时候总是需要有限的量，同一时间并不需要所有矩阵的值。

### 根据具体问题优化空间复杂度 ###

还是以 a = "fxy", b = "fab" 为例，例如计算 `d[1][3]`, 也就是下图中的绿色方块，我们需要知道的值只需 3 个，下图中蓝色方块的值

![20210601150154761.png][]

进一步分析，我们知道，当计算 `d[1]` 这行的时候，我们只需知道 `d[0]` 这行的值，同理我们计算当前行的时候只需知道上一行就可以了。  
再进一步分析，其实我们只需要一行就可以了，每次计算的时候我们需要的 3 个值，其中上边和左边的值我们可以直接得到，坐上角的值需要临时变量（如下代码使用 old）来记录。

代码如下：

int edit_distance(char *a, char *b){
 int lena = strlen(a);
 int lenb = strlen(b);
 int d[lenb+1];
 int i, j, old, tnmp;
 
 for (j = 0; j <= lenb; j++) {
 d[j] = j;
 }
 
 for (i = 1; i <= lena; i++) {
 old = i - 1;
 d[0] = i;
 for (j = 1; j <= lenb; j++) {
 temp = d[j];
 // 算法中 a, b 字符串下标从 1 开始，c 语言从 0 开始，所以 -1
 if (a[i-1] == b[j-1]) {
 d[j] = old;
 } else {
 d[j] = min_of_three(d[j] + 1, d[j-1] + 1, old + 1);
 }
 old = temp;
 }
 }
 
 return d[lenb];
 }

写代码的过程中需要注意的一点就是，当一行计算好之后开始下一行的时候，要初始化 `old` 和 `d[0]` 的值

优化过后时间复杂度还是 O(mn), 空间复杂度 O(min(m,n))。

[皮皮blog][blog]

## DTW 距离（Dynamic Time Warp） ##

时间序列是序列之间距离的另外一个例子。DTW 距离（Dynamic Time Warp）是序列信号在时间或者速度上不匹配的时候一种衡量相似度的方法。举个例子，两份原本一样声音样本A、B都说了“你好”，A在时间上发生了扭曲，“你”这个音延长了几秒。最后A:“你~~好”，B：“你好”。DTW正是这样一种可以用来匹配A、B之间的最短距离的算法。DTW 距离在保持信号先后顺序的限制下对时间信号进行“膨胀”或者“收缩”，找到最优的匹配，与编辑距离相似，这其实也是一个动态规划的问题。

实现代码

import sys
 
 distance = lambda a,b : 0 if a==b else 1
 
 def dtw(sa,sb):
 '''
 >>>dtw(u"干啦今今今今今天天气气气气气好好好好啊啊啊", u"今天天气好好啊")
 2
 '''
 MAX_COST = 1<<32
 #初始化一个len(sb) 行(i)，len(sa)列(j)的二维矩阵
 len_sa = len(sa)
 len_sb = len(sb)
 # BUG:这样是错误的(浅拷贝): dtw_array = [[MAX_COST]*len(sa)]*len(sb)
 dtw_array = [[MAX_COST for i in range(len_sa)] for j in range(len_sb)]
 dtw_array[0][0] = distance(sa[0],sb[0])
 for i in xrange(0, len_sb):
 for j in xrange(0, len_sa):
 if i+j==0:
 continue
 nb = []
 if i > 0: nb.append(dtw_array[i-1][j])
 if j > 0: nb.append(dtw_array[i][j-1])
 if i > 0 and j > 0: nb.append(dtw_array[i-1][j-1])
 min_route = min(nb)
 cost = distance(sa[j],sb[i])
 dtw_array[i][j] = cost + min_route
 return dtw_array[len_sb-1][len_sa-1]
 
 
 def main(argv):
 s1 = u'干啦今今今今今天天气气气气气好好好好啊啊啊'
 s2 = u'今天天气好好啊'
 d = dtw(s1, s2)
 print d
 return 0
 
 if __name__ == '__main__':
 sys.exit(main(sys.argv))

\[[动态时间归整 | DTW | Dynamic Time Warping][_ DTW _ Dynamic Time Warping]\]

from: [http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/46383947][blog.csdn.net_pipisorry_article_details_46383947]

ref: \[[编辑距离 (Edit distance)][_Edit distance]\]

\[leetcode地址[https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/][https_leetcode-cn.com_problems_edit-distance]\]

[blog.csdn.net_pipisorry_article_details_46383947]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/46383947
[Center]: /images/20220805/ade0f987a8ba42d386a7863305647608.png
[Center 1]: /images/20220805/174f0b92bf914981b80b0ec0ae0708f3.png
[courses]: https://class.coursera.org/mmds-003
[blog]: http://blog.csdn.net/pipisorry
[20210601150154761.png]: /images/20220805/c03badb5e2c34864a3c1b66b02e8e7b6.png
[_ DTW _ Dynamic Time Warping]: http://blog.mckelv.in/articles/1453.html
[_Edit distance]: http://www.dreamxu.com/books/dsa/dp/edit-distance.html
[https_leetcode-cn.com_problems_edit-distance]: https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/