二维费用背包

- 日理万妓 2022-08-02 15:50 171阅读 0赞

## 问题 ##

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有 一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a\[i\]和 b\[i\]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w\[i\]。

## 算法 ##

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f\[i\]\[v\]\[u\]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：

`f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}`

如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了，相信有了前面的基础，你能够自己实现出这个问题的程序。

## 物品总个数的限制 ##

有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数 ”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f\[v\]\[m\]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物 品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f\[0..V\]\[0..M\]范围内寻找答案。

## 复数域上的背包问题 ##

另一种看待二维背包问题的思路是：将它看待成复数域上的背包问题。也就是说，背包的容量以及每件物品的费用都是一个复 数。而常见的一维背包问题则是实数域上的背包问题。（注意：上面的话其实不严谨，因为事实上我们处理的都只是整数而已。）所以说，一维背包的种种思想方法，往往可以应用于二位背包问题的求解中，因为只是数域扩大了而已。

作为这种思想的练习，你可以尝试将[P11][]中提到的“子集和问题”扩展到复数域（即二维），并试图用同样的复杂度解决。

## 小结 ##

当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。

[P11]: http://m.blog.csdn.net/blog/mishifangxiangdefeng/7184010