图像几何变换（缩放、旋转）中的常用的插值算法

布满荆棘的人生 2022-07-05 15:05 262阅读 0赞

在图像几何变换的过程中，常用的插值方法有最邻近插值（近邻取样法）、双线性内插值和三次卷积法。

## 最邻近插值： ##

这是一种最为简单的插值方法，在图像中最小的单位就是单个像素，但是在旋转个缩放的过程中如果出现了小数，那么就对这个浮点坐标进行简单的取整，得到一个整数型坐标，这个整数型坐标对应的像素值就是目标像素的像素值。取整的方式就是：取浮点坐标最邻近的左上角的整数点。  
举个例子：  
3\*3的灰度图像，其每一个像素点的灰度如下所示

![这里写图片描述][SouthEast]

我们要通过缩放，将它变成一个4\*4的图像，那么其实相当于放大了4/3倍，从这个倍数我们可以得到这样的比例关系：

![这里写图片描述][SouthEast 1]

根据公式可以计算出目标图像中的(0,0)坐标与原图像中对应的坐标为(0,0)  
（由于分母不能为0，所以我们将公式改写）

![这里写图片描述][SouthEast 2]

然后我们就可以确定出目标图像中(0,0)坐标的像素灰度了，就是234。

然后我们在确定目标图像中的(0,1)坐标与原图像中对应的坐标，同样套用公式：  
![这里写图片描述][SouthEast 3]

我们发现，这里出现了小数，也就是说它对应的原图像的坐标是(0,0.75)，显示这是错误的，如果我们不考虑亚像素情况，那么一个像素单位就是图像中最小的单位了，那么按照最临近插值算法，我们找到距离0.75最近的最近的整数，也就是1，那么对应的原图的坐标也就是(0,1)，像素灰度为67。

## 双线性内插值： ##

对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为\[0,1)区间的浮点数，则这个像素得值 f(i+u,j+v) 可由原图像中坐标为 (i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：

**f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1)**

其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值。

那么还是上面的例子，目标图像中(0,1)对应的原图像浮点坐标是(0,0.75)，套用上面的公式这个坐标可以写成(0+0,0+0.75)，其中**i=0，j=0，u=0，v=0.75**  
我们套用公式看一下它最后的灰度  
f(i+u,j+v) = 0.25\*f(0,0)+0.75\*f(0,1)=0.25\*234+0.75\*67  
约等于108

这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。

## 三次卷积法： ##

其实这个方法在好像有很多叫法，它在OpenCV中被命名为INTER\_CUBIC，就是立方（三次）的意思，现在我把它和三次卷积法认为是同一种算法，引用一个帖子里面的话：

> 全称双立方（三次）卷积插值。  
> 代码或许有不同写法，实现方式就一种  
> 该算法是对函数 sin x / x 的一种近似，也就是说 原图像对目标图像的影响  
> 等于 目标点对应于原图像点周围 x距离的点，按照 sin x / x 比例 的加权平均 。  
> 这里x代表，周围得点跟目标点， x或者 y 轴 对应于原图的相对位置。  
> sin x / x 是归一化了的，实际应用的是近似公式

f(i+u,j+v) = \[A\] \* \[B\] \* \[C\]  
\[A\]=\[ S(u + 1)　S(u + 0)　S(u - 1)　S(u - 2) \]  
　　┏ f(i-1, j-1)　f(i-1, j+0)　f(i-1, j+1)　f(i-1, j+2) ┓  
\[B\]=┃ f(i+0, j-1)　f(i+0, j+0)　f(i+0, j+1)　f(i+0, j+2) ┃  
　　┃ f(i+1, j-1)　f(i+1, j+0)　f(i+1, j+1)　f(i+1, j+2) ┃  
　　┗ f(i+2, j-1)　f(i+2, j+0)　f(i+2, j+1)　f(i+2, j+2) ┛  
　　┏ S(v + 1) ┓  
\[C\]=┃ S(v + 0) ┃  
　　┃ S(v - 1) ┃  
　　┗ S(v - 2) ┛  
　　 ┏ 1-2\*Abs(x)^2+Abs(x)^3　　　　　 , 0<=Abs(x)<1 ┓  
S(x)=｛ 4-8\*Abs(x)+5\*Abs(x)^2-Abs(x)^3　, 1<=Abs(x)<2 ┃  
　　 ┗ 0　　　　　　　　　　　　　　　 , Abs(x)>=2 ┛

S(x)是对 Sin(x\*Pi)/x 的逼近（Pi是圆周率——π）

[SouthEast]: /images/20220705/0e695731442c4be19b299863baa3f402.png
[SouthEast 1]: /images/20220705/b7b8391efd3c4fdf80d4f286eb81ac92.png
[SouthEast 2]: /images/20220705/aa8781ab86644ff489c26009d0c64a00.png
[SouthEast 3]: /images/20220705/7315eb0fdb3b4ada99a7dd17abc93948.png