约瑟夫算法

柔光的暖阳◎ 2022-06-12 06:13 130阅读 0赞

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本算法仅适用于找出最后的胜利者，而不是得到出列序列。

此方法从考虑n-1个人中最终胜利者（最后一个没有出列的人是谁），递推到n个人时最终胜利者是谁。但是并不能得到出列的序列。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来  
比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是  
没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不  
是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(k-1)的退出，剩下的人继续从0开始  
报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是k%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环。  
k,k+1,k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2  
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：  
k    --> 0  
k+1 --> 1  
k+2 --> 2  
...  
...  
k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是  
最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回  
去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解  
呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写  
递推公式：

令f\[i\]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f\[n\]

递推公式  
f\[1\]=0;  
f\[i\]=(f\[i-1\]+k)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f\[i\]的数值，最后结果是f\[n\]。因为实际生  
活中编号总是从1开始，我们输出f\[n\] + 1

由于是逐级递推，不需要保存每个f\[i\]，程序也是异常简单：

＃i nclude <stdio.h>

main()  
\{  
int n, m, i, s=0;  
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);  
for (i=2; i<=n; i ) s=(s + m)%i;  
printf ("The winner is %d\\n", s+1);  
\}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，  
一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往  
往会成倍地提高算法执行效率。