一道数学题的思考

我就是我 2022-06-11 06:21 238阅读 0赞

最近看见一道数学题，比较有意思：

> 房间里有100个人，每人都有100元钱，他们在玩一个游戏。每轮游戏中，每个人都要拿出一元钱随机给另一个人，最后这100个人的财富分布是怎样的？我们不妨把这场游戏视作社会财富分配的简化模型，从而模拟这个世界的运行规律。我们假设：每个人在18岁带着100元的初始资金开始玩游戏，每天玩一次，一直玩到65岁退休。“每天拿出一元钱”可理解为基本的日常消费，“获得财富的概率随机”是为了……嗯……简化模型。以此计算，人一生要玩17000次游戏，即获得17000次财富分配的机会。答案有如下三种情况：
> 
> ![这里写图片描述][005M94J9ly4fhy4u2b54dj30hs0gxdgn.jpg]

当看见这道题的时候，我认为财富的分布应该是接近均匀分布，毕竟概率是均等的。但是答案竟然是接近冥律分布，为什么呢？我决定使用代码来计算一遍！

**使用代码计算，首先考虑一个问题，就是随机数**，目前 Random 函数的随机数存在“伪随机”，就是每次的随机数都是一样的，我们可以通过代码来测试一下：

import java.util.Random;
    
    public class MyClass {
        public static void main(String[] args) {
    
            for (int i = 0; i < 3; i++) {
                System.out.println( "第"+i+"次输出结果"+new Random(5).nextInt(100));
            }
    
        }
    }

接下来看看日志结果，大家就明白了！

第0次输出结果87
    第1次输出结果87
    第2次输出结果87
    第3次输出结果87
    第4次输出结果87
    第5次输出结果87
    第6次输出结果87
    第7次输出结果87
    第8次输出结果87
    第9次输出结果87

避免随机数的方法比较多，有减掉种子参数（）、将 Random 对象生成一个对象，每次使用同一个对象，代码验证一下：

import java.util.Random;
    
    public class MyClass {
        public static void main(String[] args) {
            Random rl = new Random();
            for (int i = 0; i < 10; i++) {
                System.out.println( "无种子参数第"+i+"次输出结果"+ new Random().nextInt(10));
                System.out.println( "同 Random 对象第"+i+"次输出结果"+ rl.nextInt(10));
            }
    
        }
    }

日志验证结果：

无种子参数第0次输出结果4
    同 Random 对象第0次输出结果6
    无种子参数第1次输出结果0
    同 Random 对象第1次输出结果1
    无种子参数第2次输出结果8
    同 Random 对象第2次输出结果8
    无种子参数第3次输出结果4
    同 Random 对象第3次输出结果4
    无种子参数第4次输出结果1
    同 Random 对象第4次输出结果8
    无种子参数第5次输出结果7
    同 Random 对象第5次输出结果6
    无种子参数第6次输出结果8
    同 Random 对象第6次输出结果4
    无种子参数第7次输出结果8
    同 Random 对象第7次输出结果2
    无种子参数第8次输出结果7
    同 Random 对象第8次输出结果8
    无种子参数第9次输出结果0
    同 Random 对象第9次输出结果1

上述的“伪函数”的原因是种子参数的使用——

> 在进行随机时，随机算法的起源数字称为种子数(seed)，在种子数的基础上进行一定的变换，从而产生需要的随机数字。因此，相同种子数的Random对象，相同次数生成的随机数字是完全相同的。

了解了Random对象以后，接下来需要实现财富分配的过程，上面说的是规则不大清晰，只说了每个人的初始资金为100元，每次中奖了就分配，然后总次数为17000次。我们在实现的过程中需要考虑的问题还有几点：

1.  **for 循环的时候，是 100 个人每次抽奖 17000 次，还是抽 17000 次奖，每次遍历 100 个人？**
2.  **当每个人的资金减少到0元以后是否还有机会中奖？**
3.  **当有人的资金减少为 0 时，可分配的奖金响应减少，如何纪录？**
4.  **当问题 1 为否定时，会发生无人中奖的情况，这个时候已经出资1元的资金需要取回，且总次数是否增加？**

第一、虽然总的计算次数都是1700000次，但是这里的逻辑不一样，前者抽奖次数达到了1700000次，后者抽奖次数固定为17000次，按照逻辑判断，应该选后者。

第二、我将这个问题理解为博弈，并非作者所提的社会问题（社会问题需要考虑到财富平均的财富再分配，博弈考虑的是我付出了有多大的收益），因此第一个问题我的答案是没有机会中奖，这样也会更加公平！

第三、我的做法是在每轮博弈前设置一个奖金初始值 bonus，假设每次一开始都不知道有人需要退出，因此初始值一直是100元，接下来在每次收取博弈奖金的时候判断参与者是否还有资金（资金是否为 0 或者为 -1）参与本轮博弈，没有的话我会给他们一个标记（资金设为 -1），并且将奖金 bonus 减去 1 。当 100 人循环完毕以后，博弈奖金就是 bonus 了！

第四、该问题类似第二个问题，在每轮博弈前设置一个标记 isBouns ，定义为无人中奖。然后在得到 bonus 以后，就可以开奖了。如果遇到无人中奖（假设中奖号为 99 ，但是 99 号没有投注博弈资金了，则本轮无人中奖），这个时候可以通过判断 isBouns 来决定总次数是否增加。由于总次数 17000 次是来自时间的计算，所以这里我也没有增加总次数了。如果需要增加，我们可以对总次数定义一个变量 22K (可以自行百度22k 这个故事),初始值为 17000 ，在无人中奖的时候加 1 即可。

代码如下：

import com.google.gson.Gson;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.List;
    import java.util.Random;
    
    /** * Created by κ?? on 2017/7/30. */
    
    public class Test {
        static List<Integer> data = new ArrayList<>();
        public static void main(String []args) {
            Random rl = new Random();
            int count = 100;
            int all = 17000;
    
    
            for (int i = 0; i < 100; i++) {
                data.add(100);
            }
            int ran = rl.nextInt(100);
            for (int i = 0; i < 17000; i++) {
                boolean isBouns = false;
                int bonus = 100;
                for (int j = 0; j < 100; j++) {
    
                    if(data.get(j) == 0){
                        data.set(j,-1);
                        bonus--;
                    }else if(data.get(j) != -1){
                        int value = data.get(j);
                        data.set(j,value-1);
                    }else{
                        bonus--;
                    }
    
                }
                if(data.get(ran)!=-1){
                    int value = data.get(ran);
                    data.set(ran,value+bonus);
                    isBouns = true;
    
                }
    
                ran = rl.nextInt(100);
                if(!isBouns){
                    for (int j = 0; j < 100; j++) {
                        int value = data.get(j);
                        if(value!=-1){
                            data.set(j,value+1);
                        }
    
                    }
                }
    
    
    
            }
    
    
            System.out.println(getData());
            //数据详情
            System.out.println(new Gson().toJson(data));
        }
    
        private static int getData() {
            int result = 0;
            int count = 0;
            int winer = 0;
            for (int i = 0; i < 100; i++) {
                if(data.get(i) != -1 && data.get(i) != 0){
                    result+=data.get(i);
                    count++;
                    //绝对赢家
                    if(data.get(i)>100){
                        winer++;
                    }
                }
            }
            System.out.println("共有"+winer+"人赢了！其中有"+count+"还有钱！");
            //总资金 10000,检查这个值计算是否有计算出错
            return result;
        }
    }

最后说一下我的计算结果：

**  代码运行10 次，累计208人还有钱，其中7人不足100元，也就是说平均每轮（几十年的概念）有20.8%的概率还有能力继续博弈，每轮有20.1%的概率盈利！**

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## 参考文章： ##

[http://blog.csdn.net/hla199106/article/details/45030041][http_blog.csdn.net_hla199106_article_details_45030041]

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## 文章来源 ##

[https://media.weibo.cn/article?id=2309404134038146271148&from=timeline&jumpfrom=weibocom][https_media.weibo.cn_article_id_2309404134038146271148_from_timeline_jumpfrom_weibocom]

[005M94J9ly4fhy4u2b54dj30hs0gxdgn.jpg]: /images/20220611/a42fe255c78d4e3faf0bb9157421dca8.png
[http_blog.csdn.net_hla199106_article_details_45030041]: http://blog.csdn.net/hla199106/article/details/45030041
[https_media.weibo.cn_article_id_2309404134038146271148_from_timeline_jumpfrom_weibocom]: https://media.weibo.cn/article?id=2309404134038146271148&from=timeline&jumpfrom=weibocom