二分图匹配的学习（博客收集向）

痛定思痛。 2022-06-10 01:36 106阅读 0赞

首先第一部分转自[http://blog.csdn.net/tree\_\_water/article/details/67633672][http_blog.csdn.net_tree_water_article_details_67633672]

一些二分图匹配的基本概念：

二分图：整个图能被划分为两个点集（X,Y）且在同一点集内的所有点互不相交的图就是二分图。  
匹配：在二分子图的边集M中如果M中的每条边的两个端点只有该条边与这两个端点相连，则M称为一个匹配。  
匹配边：我们把两个相匹配的点之间的连线称为匹配边。  
最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。  
完备匹配：如果有一边的点全都是匹配点，则称这个匹配为完备匹配。  
完美匹配：如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。  
最小覆盖： 用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。（也就是说每个边至少有一个端点是匹配点）  
路径：就是连着的几条边（1—->2—->3就是一条路径）  
最小路径覆盖问题：在有向无环图中，用最少的路径条数（不相交的路径，即不仅不能有重合的边，连重合的点都没有）覆盖掉所有顶点。  
最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．（如果图Ｇ满足二分图条件）可以用二分图匹配来做．  
关于二分图带权匹配&最大匹配&完备匹配&完美匹配的区分：  
带权匹配：使得该二分图的权值和最大（或最小）的匹配。  
最大匹配：使得该二分图边数最多的匹配。  
完备匹配：使得点数较小的点集中每个点都被匹配的匹配。  
完美匹配：所有点都被匹配的匹配。  
可知：完美匹配一定是最大匹配和完备匹配。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）  
定理2：最大匹配数 = 最大独立数  
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

无权匹配：匈牙利算法  
带权匹配：km算法  
【求二分图的最小匹配】  
只需把权值取反，变为负的，再用KM算出最大权匹配，取反则为其最小权匹配。

然后是无权匹配中匈牙利算法的讲解：转自博客[http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html][http_www.renfei.org_blog_bipartite-matching.html]

这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U U 和V V ，使得每一条边都分别连接U U、V V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

![Bipartite Graph(1)][Bipartite Graph_1] ![Bipartite Graph(2)][Bipartite Graph_2] ![Matching][] ![Maximum Matching][]

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

![0][]

基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

![5][]

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

![6][]

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

![7][] ![8][] ![9][]

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码：

// 顶点、边的编号均从 0 开始
    // 邻接表储存
    
    struct Edge
    {
        int from;
        int to;
        int weight;
    
        Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
    };
    
    vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
    vector<Edge> edges;
    typedef vector<int>::iterator iterator_t;
    int num_nodes;
    int num_left;
    int num_right;
    int num_edges;

int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
    int check[__maxNodes];
    
    bool dfs(int u)
    {
        for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
            int v = edges[*i].to;
            if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
                check[v] = true; // 放入交替路
                if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
                    // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
                    matching[v] = u;
                    matching[u] = v;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false; // 不存在增广路，返回失败
    }
    
    int hungarian()
    {
        int ans = 0;
        memset(matching, -1, sizeof(matching));
        for (int u=0; u < num_left; ++u) {
            if (matching[u] == -1) {
                memset(check, 0, sizeof(check));
                if (dfs(u))
                    ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }

queue<int> Q;
    int prev[__maxNodes];
    int Hungarian()
    {
        int ans = 0;
        memset(matching, -1, sizeof(matching));
        memset(check, -1, sizeof(check));
        for (int i=0; i<num_left; ++i) {
            if (matching[i] == -1) {
                while (!Q.empty()) Q.pop();
                Q.push(i);
                prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
                bool flag = false; // 尚未找到增广路
                while (!Q.empty() && !flag) {
                    int u = Q.front();
                    for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
                        int v = edges[*ix].to;
                        if (check[v] != i) {
                            check[v] = i;
                            Q.push(matching[v]);
                            if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
                                prev[matching[v]] = u;
                            } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
                                flag = true;
                                int d=u, e=v;
                                while (d != -1) {
                                    int t = matching[d];
                                    matching[d] = e;
                                    matching[e] = d;
                                    d = prev[d];
                                    e = t;
                                }
                            }
                        }
                    }
                    Q.pop();
                }
                if (matching[i] != -1) ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }

匈牙利算法的要点如下

1.  从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
    
    1.  如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
    2.  如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
2.  由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 `prev` 数组。

性能比较

两个版本的时间复杂度均为O(V⋅E) O(V⋅E)。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。

补充定义和定理：

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目

最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择

最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连

最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

然后是另一个大佬的二分匹配模板：转自[http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657446.html][http_www.cnblogs.com_kuangbin_archive_2012_08_26_2657446.html]

二分图模板：
    模板一：匈牙利算法
    /* **************************************************************************
    //二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）
    //初始化：g[][]两边顶点的划分情况
    //建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配
    //g没有边相连则初始化为0
    //uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数
    //调用：res=hungary();输出最大匹配数
    //优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解
    //时间复杂度:O(VE)
    //***************************************************************************/
    //顶点编号从0开始的
    const int MAXN=510;
    int uN,vN;//u,v数目
    int g[MAXN][MAXN];
    int linker[MAXN];
    bool used[MAXN];
    bool dfs(int u)//从左边开始找增广路径
    {
        int v;
        for(v=0;v<vN;v++)//这个顶点编号从0开始，若要从1开始需要修改
          if(g[u][v]&&!used[v])
          {
              used[v]=true;
              if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))
              {//找增广路，反向
                  linker[v]=u;
                  return true;
              }
          }
        return false;//这个不要忘了，经常忘记这句
    }
    int hungary()
    {
        int res=0;
        int u;
        memset(linker,-1,sizeof(linker));
        for(u=0;u<uN;u++)
        {
            memset(used,0,sizeof(used));
            if(dfs(u)) res++;
        }
        return res;
    }
    //******************************************************************************/
    模板二： Hopcroft-Carp算法
    这个算法比匈牙利算法的时间复杂度要小，大数据可以采用这个算法
    /* *********************************************
    二分图匹配（Hopcroft-Carp的算法）。
    初始化：g[][]邻接矩阵
    调用：res=MaxMatch();  Nx,Ny要初始化！！！
    时间复杂大为 O(V^0.5 E)
    适用于数据较大的二分匹配
    需要ｑｕｅｕｅ头文件
    ********************************************** */
    const int MAXN=3000;
    const int INF=1<<28;
    int g[MAXN][MAXN],Mx[MAXN],My[MAXN],Nx,Ny;
    int dx[MAXN],dy[MAXN],dis;
    bool vst[MAXN];
    bool searchP()
    {
        queue<int>Q;
        dis=INF;
        memset(dx,-1,sizeof(dx));
        memset(dy,-1,sizeof(dy));
        for(int i=0;i<Nx;i++)
            if(Mx[i]==-1)
            {
                Q.push(i);
                dx[i]=0;
            }
        while(!Q.empty())
        {
            int u=Q.front();
            Q.pop();
            if(dx[u]>dis)  break;
            for(int v=0;v<Ny;v++)
                if(g[u][v]&&dy[v]==-1)
                {
                    dy[v]=dx[u]+1;
                    if(My[v]==-1)  dis=dy[v];
                    else
                    {
                        dx[My[v]]=dy[v]+1;
                        Q.push(My[v]);
                    }
                }
        }
        return dis!=INF;
    }
    bool DFS(int u)
    {
        for(int v=0;v<Ny;v++)
           if(!vst[v]&&g[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1)
           {
               vst[v]=1;
               if(My[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue;
               if(My[v]==-1||DFS(My[v]))
               {
                   My[v]=u;
                   Mx[u]=v;
                   return 1;
               }
           }
        return 0;
    }
    int MaxMatch()
    {
        int res=0;
        memset(Mx,-1,sizeof(Mx));
        memset(My,-1,sizeof(My));
        while(searchP())
        {
            memset(vst,0,sizeof(vst));
            for(int i=0;i<Nx;i++)
              if(Mx[i]==-1&&DFS(i))  res++;
        }
        return res;
    }
    //**************************************************************************/
    下面的程序效率很高。是用vector实现邻接表的匈牙利算法。
    处理点比较多的效率很高。1500的点都没有问题
    /*
    
    HDU 1054
    用STL中的vector建立邻接表实现匈牙利算法
    效率比较高
     G++  578ms  580K
    */
    #include<stdio.h>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<string.h>
    #include<vector>
    using namespace std;
    //************************************************
    const int MAXN=1505;//这个值要超过两边个数的较大者，因为有linker
    int linker[MAXN];
    bool used[MAXN];
    vector<int>map[MAXN];
    int uN;
    bool dfs(int u)
    {
        for(int i=0;i<map[u].size();i++)
        {
            if(!used[map[u][i]])
            {
                used[map[u][i]]=true;
                if(linker[map[u][i]]==-1||dfs(linker[map[u][i]]))
                {
                    linker[map[u][i]]=u;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    inthungary()
    {
        int u;
        int res=0;
        memset(linker,-1,sizeof(linker));
        for(u=0;u<uN;u++)
        {
            memset(used,false,sizeof(used));
            if(dfs(u)) res++;
        }
        return res;
    }
    //*****************************************************
    int main()
    {
        int u,k,v;
        int n;
        while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        {
            for(int i=0;i<MAXN;i++)
               map[i].clear();
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                scanf("%d:(%d)",&u,&k);
                while(k--)
                {
                    scanf("%d",&v);
                    map[u].push_back(v);
                    map[v].push_back(u);
                }
            }
            uN=n;
            printf("%d\n",hungary()/2);
        }
        return 0;
    }

[http_blog.csdn.net_tree_water_article_details_67633672]: http://blog.csdn.net/tree__water/article/details/67633672
[http_www.renfei.org_blog_bipartite-matching.html]: http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html
[Bipartite Graph_1]: http://img.renfei.org/2013/08/1.png
[Bipartite Graph_2]: http://img.renfei.org/2013/08/2.png
[Matching]: http://img.renfei.org/2013/08/3.png
[Maximum Matching]: /images/20220610/2c555bce60164b3198f131f4ae385354.png
[0]: /images/20220610/34ade7ed2b8d44439b6f22f3624a2c4a.png
[5]: /images/20220610/4903e46cb35f4a8b96c3b626b30d80be.png
[6]: /images/20220610/e9ae4ae0a81e441a8c7b4dc3d00a420e.png
[7]: http://img.renfei.org/2013/08/7.png
[8]: http://img.renfei.org/2013/08/8.png
[9]: /images/20220610/3226efeec9f5413f90cccbd59259e083.png
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