二分图匹配

￡神魔★判官ぃ 2021-12-11 13:37 525阅读 0赞

该文章是从https://blog.csdn.net/qq\_41730082/article/details/81162561复制过来的

二分图匹配，自然要先从定义入手，那么二分图是什么呢？

二分图：

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二分图是特殊的图。

匹配：

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集\{E\}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。  
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。  
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。  
求二分图匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

注意匈牙利算法，除了二分图多重匹配外在二分图匹配中都可以使用。

注：二分图匹配中还有一个hk算法，复杂度为o（sqrt（n）\*e）由于复杂度降低较低，代码量飙升而且绝大多数情况下没人会闲的卡个sqrt的复杂度。。在此先不讲了，有兴趣可以自己百度，貌似卡这个算法的只有hdu2389

嘛 首先我们讲解一下匈牙利算法的过程：

匈牙利算法：  
匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法，除了二分图多重匹配外均可使用

匈牙利算法实际上就是一种网络流的思想，其核心就是寻找增广路。具体操作就是嗯。。拉郎配

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

\-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（惊讶-\_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉快哭了），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

![在这里插入图片描述][20190709101441113.png]

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

![在这里插入图片描述][20190709101457339.png]

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

![在这里插入图片描述][20190709101505996.png]

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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

![在这里插入图片描述][20190709101520742.png]

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配(发火发火)重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)  
![在这里插入图片描述][20190709101530383.png]

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~ 1号男生可以找2号妹子了~~~ 3号男生可以找1号妹子

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ0NDc0OTQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70]

所以第三步最后的结果就是：

![在这里插入图片描述][20190709101553952.png]

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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上  
代码

#include<bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    #define FAST_IO std::ios::sync_with_stdio(false);
    using namespace std;
    
    const int MAX = 1e3 + 5;
    int k, m, n;
    vector<int> nxt[MAX];//女生有好感的男生
    int vis[MAX], boy[MAX];//boy【i】属于哪个女生
    int sum = 0;
    void init() {
    	//memset(girl, 0, sizeof(girl));
    	for(int i = 0; i <= m; i++)
    		nxt[i].clear();
    	for(int i = 0; i <= n; i++)
    		boy[i] = 0;
    	sum = 0;
    }
    bool dfs_f(int x) {
    	int len = nxt[x].size();
    	int boy_i = -1;
    	for(int i = 0; i < len; i++) {
    		boy_i = nxt[x][i];
    		//cout << "ok" << endl;
    		if(!vis[boy_i])//如果没有考虑过该男孩
    		 { 
    			vis[boy_i] = 1;//访问标记
    			if(boy[boy_i] == 0 || dfs_f(boy[boy_i])) { //男孩是否有归属，无归属带走，有就去访问他的女票
    				//是否有备胎有的话抢走，没有就算了
    				boy[boy_i] = x;//宣誓主权
    				return true;
    			}
    		}
    
    	}
    	return false;//单身了
    }
    int main() {
    	int x, y;
    	while(cin >> k && k != 0) {
    		init();//初始化
    		cin >> m >> n;
    		for(int i = 0; i < k; i++) {
    			cin >> x >> y;
    			nxt[x].push_back(y);//可以接受的
    		}
    		for(int i = 1; i <= m; i++) {
    			memset(vis, 0, sizeof(vis));
    			if(dfs_f(i))sum++;//配对成功就++
    		}
    		cout << sum << endl;
    	}
    }

[20190709101441113.png]: /images/20211211/a63b63c3e5c441e885561eb57b86fdf8.png
[20190709101457339.png]: /images/20211211/49a08996fe254a34b491a6fac45fe2ad.png
[20190709101505996.png]: /images/20211211/5f31194c8836460aaf08b7dceadfb63a.png
[20190709101520742.png]: /images/20211211/20210ac152dc47aa90cb86d4841f89ce.png
[20190709101530383.png]: /images/20211211/6c240dcec60d47e18306e0ecbd670dfc.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ0NDc0OTQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20211211/49871dcc9595457285816c1f8766e1bf.png
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