poj-1284(欧拉函数+原根)

落日映苍穹つ 2022-06-09 00:27 131阅读 0赞

问题描叙:

We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set \{ (x i mod p) | 1 <= i <= p-1 \} is equal to \{ 1, ..., p-1 \}. For example, the consecutive powers of 3 modulo 7 are 3, 2, 6, 4, 5, 1, and thus 3 is a primitive root modulo 7.   
Write a program which given any odd prime 3 <= p < 65536 outputs the number of primitive roots modulo p.

Input

Each line of the input contains an odd prime numbers p. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each p, print a single number that gives the number of primitive roots in a single line.

Sample Input

23
    31
    79

Sample Output

10
    8
    24

题目题意:题目给我们一个奇素数，让我们求有多少个x满足the set \{ (x i mod p) | 1 <= i <= p-1 \} is equal to \{ 1, ..., p-1 \}.

题目分析:其实这个题目实质就是问p有多少个原根（哎，想要学好数论，得见多识广啊！）

下面是百度对原根的解释:

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的 [欧拉函数][Link 1]）

假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）//这句话就是满足的条件。

其中i≠j且i, j介于1至(p-1)之间

这个题目就是将原根的定义解释了一遍。

对于这个题目来说有俩点重要的原根性质

1：模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意[正整数][Link 2]。

2：对正整数(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群 Z/mZ的可逆元，也就是所有与 m [互素][Link 3]的正整数构成的[等价类][Link 4]构成的乘法群）Zn的一个[生成元][Link 5]。由于Zn有 φ(m)个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ(φ(m))个，因此当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

个人实力太差了，不能给大家解释了（还得赶紧多学点才行）

我们就记住吧！模m有原根，m=1,2,4,p,2p,p^n,p是奇质数，当模m有原根时，原根的个数是φ(φ(m))(这个是欧拉函数）

因为这个题目给的n是奇素数，所以phi\[n\]=n-1，因为n与1到n-1都互质。

答案就是phi\[n-1\]

代码如下:

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    
    int get_euler(int n)
    {
        int res=n,a=n;
        for (int i=2;i*i<=a;i++) {
            if (a%i==0) {
                res=res/i*(i-1);
                while (a%i==0) a=a/i;
            }
        }
        if (a>1) res=res/a*(a-1);
        return res;
    }
    int main()
    {
        int n;
        while (scanf("%d",&n)!=EOF) {
            printf("%d\n",get_euler(n-1));
        }
        return 0;
    }

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E7%B4%A0
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E7%AD%89%E4%BB%B7%E7%B1%BB
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E7%94%9F%E6%88%90%E5%85%83