如何理解离散傅里叶变换

布满荆棘的人生 2022-06-03 10:55 282阅读 0赞

为了方便讨论，以下用的都是逻辑频率和周期，先给出逻辑频率和周期的定义：

> 频率f：整个序列（数组）中有几个这个正弦波的周期  
> 周期T：这个正弦波一个周期中的采样点数  
> 频率f∗周期T=整个序列采样点数N  频 率 f ∗ 周 期 T = 整 个 序 列 采 样 点 数 N 
> 
> 逻辑频率和物理频率的转换，可以直接把逻辑频率缩放到物理频率：  
> 物理频率=fN∗采样率（Hz）  物 理 频 率 = f N ∗ 采 样 率 （ H z ）

离散傅里叶变换（DFT）的公式：

X(f)=∑t=0N−1x(t)ei∗fN∗2π∗t,t,f=0,1,...,N−1=∑t=0N−1x(t)cos(fN∗2π∗t)\+i∗x(t)sin(fN∗2π∗t)  X ( f ) = ∑ t = 0 N − 1 x ( t ) e i ∗ f N ∗ 2 π ∗ t , t , f = 0 , 1 , . . . , N − 1 = ∑ t = 0 N − 1 x ( t ) c o s ( f N ∗ 2 π ∗ t ) + i ∗ x ( t ) s i n ( f N ∗ 2 π ∗ t )

其中x(t)为时域信号数组，X(f)为频域数组，把f=0~N-1代入X(f)，就能得到各个频率的正弦波（结果是个复数，幅值为复数的模，初相为  arctan(虚部实部)  a r c t a n ( 虚 部 实 部 )  ）  
各正弦波的频率  f=0,1,2,3,...,N−1  f = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , N − 1   
周期  T=Nf=∞,N,N2,N3,...,NN−1  T = N f = ∞ , N , N 2 , N 3 , . . . , N N − 1

例如下图蓝色曲线频率为3，幅值为2；红色曲线频率为16，幅值为1。把它们相加就得到了绿色曲线。对绿色曲线采样，做DFT后得到频域为图的下半部分（x轴为频率，y轴为幅值）

![DFT][]

（因为整个时域序列相加了， 正频率幅值\+负频率幅值序列长度N  正 频 率 幅 值 + 负 频 率 幅 值 序 列 长 度 N  才是原来的正弦波幅值，所以IDFT公式前面要乘1/N）

由DFT的公式可知，X(1)~X(N/2-1)和X(N-1)~X(N/2+1)是共轭复数。N/2+1~N-1又叫负频率，因为DFT得到的频域函数也是周期函数，X(N/2+1)~X(N-1)和X(-N/2+1)~X(-1)的值相等。用具体例子理解负频率：有个车轮顺时针旋转，如果旋转频率增大到人眼采样频率的N/2+1~N-1，即负频率，看起来车轮就是逆时针旋转了

根据采样定理（香农定理、奈奎斯特定理），只有频率**小于**采样频率/2的信号能无损还原，N/2叫做奈奎斯特频率。我们能用到的实际上只有直流量和正频率（f=0~N/2-1）

## 频率超过N/2会怎么样 ##

f=31，随着频率增加，正负频率越来越靠近N/2

![f=31][f_31]

f=32，每个周期刚好采样到2个点（再增大就只有1个点了），正负频率合为了奈奎斯特频率

![f=32][f_32]

这个时候信号已经失真了，比如相位超前90°，采样到的就全是0

![f=32][f_32 1]

f=33，采样到的点看起来和f=31一样，算得频率就是31

![f=33][f_33]

f=63，频率继续增加，采样到的点频率反而减小了，这里和f=1一样

![f=63][f_63]

f=64，看起来就是直流信号

![f=64][f_64]

f=65，又和f=1一样了

![f=65][f_65]

## DFT做了什么 ##

我们只看实数部分，虚数部分同理，只是用sin表示正弦波，相位差了90°。DFT其实就是把时域信号加权相加，权值等于相应频率，幅值为1的cos序列

## 为什么这样就能把不同频率的正弦波分开 ##

这是利用了三角函数的正交性，即**频率为0, 1, 2, … 的任意两个正弦波乘积在整个周期（采样序列）积分（求和）为0**

例如 x(t)=(f=3的正弦波\+f=16的正弦波)  x ( t ) = ( f = 3 的 正 弦 波 + f = 16 的 正 弦 波 ) ，x(t)与f=3的正弦波相乘后就变成了 (f=3的正弦波∗f=3的正弦波\+f=16的正弦波∗f=3的正弦波)  ( f = 3 的 正 弦 波 ∗ f = 3 的 正 弦 波 + f = 16 的 正 弦 波 ∗ f = 3 的 正 弦 波 ) ，再求和后，第二项变为0消掉了，只有频率相同的第一项留了下来

## 如果不正交呢 ##

下图为频率为3.5的情况

![频谱泄露][SouthEast]

可以看出整个频域范围幅值都不为0，就像幅值从频率3.5泄露出去了，这种现象叫做频谱泄露。DFT其实把原信号当成了无限长序列信号，如下图，原信号改变了，所以频域也变了

![截断][SouthEast 1]

其实就是把正弦波截断后，周期不完整了，出现了非整数的频率，破坏了三角函数的正交性。实际应用中难免截断完整周期，为了减少频谱泄露的影响，有两种方法，一种是把原信号加窗后再DFT；另一种是增加用来变换的序列长度，这样可以把频率分得更细，让三角函数更接近正交

[DFT]: /images/20220603/6242f2ab115d4de094da30826ad2f7e8.png
[f_31]: /images/20220603/0517bcb73e5549c4a885c99b3be3f8e6.png
[f_32]: /images/20220603/68eebd8201014852bf83cabbb2a637b7.png
[f_32 1]: /images/20220603/ea0112b2fc234b05a2f97000beefb8eb.png
[f_33]: /images/20220603/42ed2476fd5e4e07bba811a0a2d4aff7.png
[f_63]: /images/20220603/4dbb3c175e684f5facc8d9d001956cb1.png
[f_64]: /images/20220603/189bf76868d5472e8ffb6482ff7a15f9.png
[f_65]: /images/20220603/bf99525bc730497bb7d58df7d716028a.png
[SouthEast]: /images/20220603/67833b763c0a439d850a99b9a8fea20e.png
[SouthEast 1]: /images/20220603/8833f9ff7bf84d5bad389550c7ac81e4.png