哈尔(Haar)小波变换的原理及opencv源代码

偏执的太偏执、 2022-06-03 09:47 1008阅读 0赞

# **1. 小波分析** #

小波分析是对傅里叶变换的继承，总结和重大突破。小波分析的优势在于可以同时进行时频域分析，比傅里叶变换更适合处理非平稳信号。

小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集中在某一点附件。即小波是一种在时域非常集中的波。

小波图示：

![20200811211337621.png][]

傅里叶变换：

![$$F(w) = \\int\_\{-\\infin\}^\{\\infin\} f(t)\*e^\{-iwt\}dt$$][F_w_ _ _int_-_infin_infin_ f_t_e_-iwt_dt]

小波变换：  
![20200811211618615.png][]

相比傅里叶变换，小波变换是关于尺度 ![$\\alpha$][alpha] 和平移量 ![$\\tau$][tau] 的变换。尺度控制小波函数的伸缩，平移量控制小波函数的平移。尺度对应频率（的反比），平移量对应于时间。

一般，有用信号表现为低频信号或者是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号，因此根据噪声与信号在不同尺度（即不同频率）上的小波谱具有不同表现的特点，将噪声小波谱占主导地位的那些尺度上的小波分量去掉，而实现去噪。haar

#  #

# 2. 小波变换 #

小波变换可以采用多种小波函数，其中 **haar 小波变换**就是基于Haar小波函数的小波变换。

Haar 小波函数：

![20200811211713284.png][]

各种小波函数示图。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2t1d2VpY2Fp_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 参考 #

关于haar小波变换的原理可以参考[haar小波变换][haar]

如果不想看英文版的，可以参考[哈尔小波变换的原理及其实现(Haar)][Haar]

这里主要给出haar小波变换的opencv实现代码。

[小波变换基础以及haar小波][haar 1]

[(完整版)Haar小波][Haar 1]

# 3. Haar 小波变换实例 #

// verified on opencv4.2.0
    # include<opencv.hpp>
    # include<iostream>
    
    
    using namespace std;
    using namespace cv;
    
    
    int main()
    {
    	Mat img = imread("Lena.jpg", cv::IMREAD_GRAYSCALE);
    	int width = img.cols;
    	int height = img.rows;
    	int depth = 2;   
    	int depthcount = 1;
    
    	Mat tmp = Mat::ones(img.size(), CV_32FC1);
    	Mat wavelet = Mat::ones(img.size(), CV_32FC1);
    	Mat imgtmp = img.clone();
    	imshow("src", imgtmp);
    	imgtmp.convertTo(imgtmp, CV_32FC1, 1.0 / 255);
    
    	while (depthcount <= depth)
    	{
    		height = img.rows / depthcount;
    		width = img.cols / depthcount;
    
    
    
    		//calculate horizen
    		for (int i = 0; i < height; i++) //row
    		{
    			for (int j = 0; j < width / 2; j++) // col
    			{
    				tmp.at<float>(i, j) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) + imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2; //mean
    				tmp.at<float>(i, j + width / 2) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) - imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2; //diff
    			}
    		}
    
    		// calculate vertical
    		for (int i = 0; i < height / 2; i++)
    		{
    			for (int j = 0; j < width; j++)
    			{
    				wavelet.at<float>(i, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) + tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2;
    				wavelet.at<float>(i + height / 2, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) - tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2;
    			}
    		}
    		imgtmp = wavelet;
    		depthcount++;
    	}
    
    	normalize(wavelet, wavelet, 0, 1, cv::NORM_MINMAX);
    
    	imshow("wavelet", wavelet);
    
    	waitKey(0);
    	return 0;
    }

运行结果如下：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2t1d2VpY2Fp_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

[20200811211337621.png]: /images/20220603/7fec3e9d42fd487fbfa94e48e52a80a6.png
[F_w_ _ _int_-_infin_infin_ f_t_e_-iwt_dt]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%24%24F%28w%29%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfin%7D%5E%7B%5Cinfin%7D%20f%28t%29*e%5E%7B-iwt%7Ddt%24%24
[20200811211618615.png]: /images/20220603/f7ab73bfc32f4df1816d3b1f1607d243.png
[alpha]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%24%5Calpha%24
[tau]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%24%5Ctau%24
[20200811211713284.png]: /images/20220603/99f8217bda494f38a85e698bf35839e7.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2t1d2VpY2Fp_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220603/95379da5037b4ca2a2e616ffa6c3d4c7.png
[haar]: http://www.whydomath.org/node/wavlets/hwt.html
[Haar]: http://blog.csdn.net/augusdi/article/details/8680011
[haar 1]: https://wenku.baidu.com/view/6b1bddc8763231126fdb1190.html?rec_flag=default&fr=pc_oldview_relate-1001_1-5
[Haar 1]: https://wenku.baidu.com/view/49d9472b0875f46527d3240c844769eae109a345.html
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2t1d2VpY2Fp_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20220603/0454e3c66ecf44a8ae34200df167aaf4.png