小波变换一之Haar变换

蔚落 2022-03-26 11:20 475阅读 0赞

### 小波变换一之Haar变换 ###

*  Haar变换
 *   *  案例一简单一维信号变换
     *  案例二多分辨率一维信号变换

# Haar变换 #

## 案例一简单一维信号变换 ##

下面是一个一维信号（一组数）： f = \{ 2 , 2 , 2 , 4 , 4 , 4 \} f = \\\{2, 2, 2, 4, 4, 4\\\} f=\{ 2,2,2,4,4,4\}

我对这个信号进行如下处理：

a m = 2 f 2 m − 1 + f 2 m 2 = f 2 m − 1 + f 2 m 2 a\_m = \\sqrt\{2\}\\frac\{f\_\{2m-1\}+f\_\{2m\}\}\{2\} = \\frac\{f\_\{2m-1\}+f\_\{2m\}\}\{\\sqrt\{2\}\} am=22f2m−1\+f2m=2f2m−1\+f2m（相邻两个数相加，求平均，然后乘以 2 \\sqrt\{2\} 2）

d m = 2 f 2 m − 1 − f 2 m 2 = f 2 m − 1 − f 2 m 2 d\_m = \\sqrt\{2\}\\frac\{f\_\{2m-1\}-f\_\{2m\}\}\{2\} = \\frac\{f\_\{2m-1\}-f\_\{2m\}\}\{\\sqrt\{2\}\} dm=22f2m−1−f2m=2f2m−1−f2m（相邻两个数相减，求平均，然后乘以 2 \\sqrt\{2\} 2）

注：至于为什么要乘以 2 \\sqrt\{2\} 2呢？我们这里先不解释，放到后面再说。

然后按照先 a a a后 d d d的顺序排列 a 1 , a 2 , . . . , a N / 2 , d 1 , d 2 , . . . , d N / 2 \{a\_1,a\_2,...,a\_\{N/2\}, d\_1, d\_2, ..., d\_\{N/2\}\} a1,a2,...,aN/2,d1,d2,...,dN/2（ N N N是离散信号中的值的个数）

则， a = \{ 2 2 , 3 2 , 4 2 \} a = \\\{2\\sqrt\{2\}, 3\\sqrt\{2\}, 4\\sqrt\{2\}\\\} a=\{ 22,32,42\}， d = \{ 0 , − 2 , 0 \} d=\\\{0, -\\sqrt\{2\}, 0\\\} d=\{ 0,−2,0\}

我们可以得到结果： t f = \{ 2 2 , 3 2 , 4 2 , 0 , − 2 , 0 \} tf = \\\{2\\sqrt\{2\}, 3\\sqrt\{2\}, 4\\sqrt\{2\}, 0, -\\sqrt\{2\}, 0\\\} tf=\{ 22,32,42,0,−2,0\}

这就是传说中的Haar变换了……

a a a表示的是信号的趋势（trend），近似（approximation），是低频信息；而 d d d表示的是信号的细节（detail），是高频信息。

那么我们怎么变回去呢？我们对变换以后的信号进行如下处理：

f 2 m − 1 = 2 a m + d m 2 = a m + d m 2 f\_\{2m-1\} = \\sqrt\{2\}\\frac\{a\_m +d\_m\}\{2\} = \\frac\{a\_m +d\_m\}\{\\sqrt\{2\}\} f2m−1=22am\+dm=2am\+dm（第 m m m个 a a a和 d d d相加，求平均，然后乘以 2 \\sqrt\{2\} 2）

f 2 m = 2 a m − d m 2 = a m − d m 2 f\_\{2m\} = \\sqrt\{2\}\\frac\{a\_m -d\_m\}\{2\} = \\frac\{a\_m -d\_m\}\{\\sqrt\{2\}\} f2m=22am−dm=2am−dm （第 m m m个 a a a和 d d d相减，求平均，然后乘以 2 \\sqrt\{2\} 2）

我们可以得到结果 i f = \{ 2 , 2 , 2 , 4 , 4 , 4 \} if = \\\{2, 2, 2, 4, 4, 4\\\} if=\{ 2,2,2,4,4,4\}

这样就是Haar变换的逆变换。

通过观察，我们可以发现：

*   d d d中的数字绝大部分都很小（这是做信息压缩很重要的依据）
 *  变换前后信号的能量保持不变，即 ∑ f i 2 = ∑ a m 2 + ∑ d i 2 \\sum\{f\_i^2\} = \\sum\{a\_m^2\} + \\sum\{d\_i^2\} ∑fi2=∑am2\+∑di2（有兴趣的同学可以算一下对于 f f f和 t f tf tf的能量都是60，刚好相等）

## 案例二多分辨率一维信号变换 ##

我们可以按照上面的思路将信号对得到的低频信号（ a a a）一直一直划分下去，直到 l o g 2 N \\mathrm\{log\}\_2N log2N（离散信号的值的数目不是偶数的，可以在后面补0）

给定如下的一个信号： f ( t ) = 20 x 2 ( 1 − x ) 4 cos ⁡ ( 12 π x ) f(t) = 20x^2(1-x)^4\\cos(12\\pi x) f(t)=20x2(1−x)4cos(12πx)

我们通过在\[0, 1\]之间取样1024个点可以得到信号的振幅，绘制出信号图像如下：  
![原始信号][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1RfMjcwODA5MDE_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
我们可以通过案例一种描述的方法进行Haar变换，我们这里对 f ( t ) f(t) f(t)信号进行两次Haar变换，如下图所示：  
![Haar多分辨率分析][Haar]

这是多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，MRA）以及图像压缩（JPEG2000编码）等的基础理念，这里现有一个大概理解，后面我们会继续谈到。

变换的结果如下（感兴趣的朋友可以使用Mathematica或者MATLAB是一样，这两个数学软件都提供了对Haar变换的直接支持）：  
![Haar变换][Haar 1]

好了，这一节先到这里，我们以后有时间慢慢聊！

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[Haar]: /images/20220326/7a0c20a19c2c494baa53640d6556a5ef.png
[Haar 1]: /images/20220326/485191a38aa5468a88b34d9e3144aa1f.png