洛谷P1118 [USACO06FEB]数字三角形Backward Digit Su…

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-05-30 02:09 186阅读 0赞

## 题目描述 ##

FJ and his cows enjoy playing a mental game. They write down the numbers from 1 to N (1 <= N <= 10) in a certain order and then sum adjacent numbers to produce a new list with one fewer number. They repeat this until only a single number is left. For example, one instance of the game (when N=4) might go like this:

3   1   2   4
          4   3   6
            7   9
             16

Behind FJ's back, the cows have started playing a more difficult game, in which they try to determine the starting sequence from only the final total and the number N. Unfortunately, the game is a bit above FJ's mental arithmetic capabilities.

Write a program to help FJ play the game and keep up with the cows.

有这么一个游戏：

写出一个1～N的排列a\[i\]，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子：

3 1 2 4

4 3 6

7 9 16 最后得到16这样一个数字。

现在想要倒着玩这样一个游戏，如果知道N，知道最后得到的数字的大小sum，请你求出最初序列a\[i\]，为1～N的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。

\[color=red\]管理员注：本题描述有误，这里字典序指的是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

而不是1，10，11，12，2，3，4，5，6，7，8，9\[/color\]

## 输入输出格式 ##

输入格式：

两个正整数n，sum。

输出格式：

输出包括1行，为字典序最小的那个答案。

当无解的时候，请什么也不输出。（好奇葩啊）

## 输入输出样例 ##

输入样例\#1： 复制

4 16

输出样例\#1： 复制

3 1 2 4

## 说明 ##

对于40%的数据，n≤7；

对于80%的数据，n≤10；

对于100%的数据，n≤12，sum≤12345。

又是一道深搜题，又写了一份无任何优化的代码，哭。才20分。

无脑思路：枚举每个位置然后求和。果然TLE

#include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    
    int n, sum;
    int ans[14];
    int nnn[14];
    bool book[11];
    int Pascal_trangle[14][14];
    
    
    bool check()
    {
    		for (int j = 1; j <= n-1; j++)
    			nnn[j] = ans[j] + ans[j + 1];
    	
    		for (int m = n - 2; m >= 1; m--)
    		{
    			for (int j = 1; j <= m; j++)
    				nnn[j] = nnn[j] + nnn[j + 1];
    		}
    	if (nnn[1] == sum)
    		return true;
    	else
    		return false;
    }
    
    void dfs(int step)
    {
    	if (step > n)
    	{
    		//for (int i = 1; i <= n; i++)
    			//cout << ans[i] << ' ';
    		//cout << '\n';
    		if (check())
    		{
    			for (int i = 1; i <= n; i++)
    				cout << ans[i] << ' ';
    			exit(0);
    		}
    	}
    	else
    	{
    		for (int i = 1; i <= n;i++)
    		if (!book[i])
    		{
    			ans[step] = i;
    			book[i] = true;
    			dfs(step + 1);
    			book[i] = false;
    			ans[step] = 0;
    		}
    	}
    }
    
    int main()
    {
    	//freopen("1.txt","r",stdin);
        cin >> n >> sum;
    	dfs(1);
    	return 0;
    }

正确思路：

参考题解：[https://www.luogu.org/blog/Chanis/solution-p1118][https_www.luogu.org_blog_Chanis_solution-p1118]

首先计算出来杨辉三角的第n行的系数，用一个二重循环即可。然后dfs（int step,int tmp） 此处的tmp是一个排列根据杨辉三角的系数计算的和，tmp是随着深度增加而增加的，所以一旦tmp大于目标的和，就可以判定不对（这是一个剪枝）。

#include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    int n, sum;
    int ans[14];
    bool book[14];
    int Pascal_trangle[14][14];
    
    void count_Pascal_trangle()//计算杨辉三角的系数
    {
    	Pascal_trangle[1][1] = 1;
    	for (int i = 2; i <= n;i++)
    	for (int j = 1; j <= i; j++)
    		Pascal_trangle[i][j] = Pascal_trangle[i - 1][j - 1] + Pascal_trangle[i - 1][j];
    }
    
    
    void dfs(int step,int tmp)
    {
    	if (tmp > sum)
    		return;
    	if (step > n)
    	{
    		if (tmp == sum)
    		{
    			for (int i = 1; i <= n; i++)
    				cout << ans[i] << ' ';
    			exit(0);
    		}
    	}
    	for (int i = 1; i <= n;i++)
    	if (!book[i])
    	{
    		ans[step] = i;
    		book[i] = true;
    		dfs(step + 1, tmp + ans[step] * Pascal_trangle[n][step]);
    		book[i] = false;
    		ans[step] = 0;
    	}
    }
    
    int main()
    {
    	//freopen("1.txt", "r", stdin);
    	cin >> n >> sum;
    	count_Pascal_trangle();
    	dfs(1, 0);
    	return 0;
    }

[https_www.luogu.org_blog_Chanis_solution-p1118]: https://www.luogu.org/blog/Chanis/solution-p1118