Ch1 0 1背包问题及其实例详解

àì夳堔傛蜴生んèń 2022-05-25 07:40 45阅读 0赞

# 题目 #

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c\[i\]，价值是w\[i\]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

# 基本思路 #

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f\[i\]\[v\]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f\[i\]\[v\]=max\{f\[i-1\]\[v\],f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]+w\[i\]\}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f\[i-1\]\[v\]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c\[i\]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]再加上通过放入第i件物品获得的价值w\[i\]。

伪代码如下：  
F\[0, 0..V \] = 0  
for i = 1 to N  
for v = Ci to V  
F\[i, v\] = max\{F\[i-1,v\], F\[i-1,v-Ci\]+W\[i\]\}

# 优化空间复杂度 #

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N\*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f\[i\]\[0..V\]的所有值。那么，如果只用一个数组f\[0..V\]，能不能保证第i次循环结束后f\[v\]中表示的就是我们定义的状态f\[i\]\[v\]呢？f\[i\]\[v\]是由f\[i-1\]\[v\]和f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]两个子问题递推而来，能否保证在推f\[i\]\[v\]时（也即在第i次主循环中推f\[v\]时）能够得到f\[i-1\]\[v\]和f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f\[v\]，这样才能保证推f\[v\]时f\[v-c\[i\]\]保存的是状态f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]的值。伪代码如下：

F\[0..V\] = 0

for i=1..N

for v=V..C\[i\]

f\[v\]=max\{f\[v\],f\[v-c\[i\]\]+w\[i\]\};

其中的f\[v\]=max\{f\[v\],f\[v-c\[i\]\]\+w\[i\]\}一句恰就相当于我们的转移方程f\[i\]\[v\]=max\{f\[i-1\]\[v\],f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]\+w\[i\]\}，因为现在的f\[v-c\[i\]\]就相当于原来的f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f\[i\]\[v\]由f\[i\]\[v-c\[i\]\]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题(完全背包问题)最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack(F,C,W)

for v=V to C

f\[v\]=max\{f\[v\],f\[v-C\]+W\}

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i=1 to N

ZeroOnePack(F,c\[i\],w\[i\]);

# 初始化的细节问题 #

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f\[0\]为0其它f\[1..V\]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f\[N\]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f\[0..V\]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

小结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

# 实例分析与代码实现 #

有编号分别为1,2,3,4,5的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，每件物品数量只有一个，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

下面给出迭代计算的表格，按箭头指示方向

![20180510204607655][]

下面给出java语言实现

public class Knapsack {
        public static void main(String[] args) {
            int v = 10;
            int n = 5;
            int w[] = {2, 2, 6, 5, 4};
            int p[] = {6, 3, 5, 4, 6};
            int c[][] = Solution(v, n, w, p);
            for (int i = 1; i <=n; i++) {
                for (int j = 1; j <=v; j++) {
                    System.out.print(c[i][j]+"\t");
                }
                System.out.println();
            }
        }
    
     /**
         * @param v 表示背包的最大容量
         * @param n 表示商品个数
         * @param w 表示商品重量数组
         * @param p 表示商品价值数组
         */
        public static int[][] Solution(int v, int n, int[] w, int[] p) {
        	//初始化，二维数组默认初始化全为0
            int c[][] = new int[n + 1][v + 1];
            for(int i = 1; i <= n; i++)
            	for(int j = 1; j <= v; j++){
            		if(j < w[i-1])
            			c[i][j] = c[i-1][j];
            		else
            			c[i][j] = Math.max(c[i-1][j], c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]);
            	}
            return c;
        }
    }

输出：

0666666666  
0669999999  
0669999111114  
06699910111314

066991212151515

空间优化后的算法：

public class Knapsack {
    	private final int MIN = Integer.MIN_VALUE;
        public static void main(String[] args) {
            int c = 10;
            int n = 5;
            int w[] = {2, 2, 6, 5, 4};
            int v[] = {6, 3, 5, 4, 6};
            Solution(c, n, w, v);
        }
    
     /**
         * @param c 表示背包的最大容量
         * @param n 表示商品个数
         * @param w 表示商品重量数组
         * @param v 表示商品价值数组
         */
        public static void Solution(int c, int n, int[] weight, int[] value) {
        	int[] w = new int[n+1];
        	int[] v = new int[n+1];
        	int[][] G = new int[n+1][c+1];
        	for(int i = 1; i < n+1; i++){
        		w[i] = weight[i-1];
        		v[i] = value[i-1];
        	}
        	//初始化values[0...c]=0————在不超过背包容量的情况下，最多能获得多少价值
        	//原因：如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了
        	int[] values = new int[c + 1];
        	//初始化values[0]=0，其它全为负无穷————解决在恰好装满背包的情况下，最多能获得多少价值的问题
        	//原因：只有容量为0的背包可以什么物品都不装就能装满，此时价值为0，其它容量背包均无合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为负无穷
        	/*for (int i = 1; i < values.length; i++) {
        	     values[i] = MIN;
        	  }*/
            for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
        	   for (int j = c; j >= w[i]; j--) {
        	      if (values[j] < values[j - w[i]] + v[i]) {
        	          values[j] = values[j - w[i]] + v[i];
        	          G[i][j] = 1;
        	      }
        	   }
            }
            System.out.println("最大价值为： " + values[c]);
            System.out.print("装入背包的物品编号为： ");
            /*
                                    输出顺序:逆序输出物品编号
                                    注意：这里另外开辟数组G[i][v],标记上一个状态的位置
               G[i][v] = 1:表示物品i放入背包了，上一状态为G[i - 1][v - w[i]]
               G[i][v] = 0:表示物品i没有放入背包，上一状态为G[i - 1][v]
            */
            for(int i = n,j = c; i > 0; i--){
            	if(G[i][j] == 1){
            		System.out.print(i + " ");
            		j -= w[i];
            	}
            }
        }
    }

输出为

最大价值为： 15  
装入背包的物品编号为： 5 2 1

[20180510204607655]: /images/20220525/a5aaef44ce34463e92b947d35261868c.png