0-1背包问题 àì夳堔傛蜴生んèń 2022-05-30 01:20 72阅读 0赞 问题:有n个物品,第i个物品价值为vi,重量为wi,其中vi和wi均为非负数,背包的容量为W,W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品,使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下: 目标函数为 : ![1364096225_6763.jpg][] 约束条件为:![1364096448_8646.jpg][] 满足约束条件的任一集合(x1,x2,...,xn)是问题的一个可行解,问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例,假设n=5,W=17, 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1,2和5装入背包,背包未满,获得价值22,此时问题解为你(1,1,0,0,1)。也可以将物品4和5装入背包,背包装满,获得价值24,此时解为(0,0,0,1,1)。 ![1364096951_8384.jpg][] 下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。 (1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。 可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程,即决定哪些物品应该放入背包,哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n,即xn=1,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即xn=0,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W时的最优解。 (2)递归定义最优解的值 根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c\[i,w\]表示背包容量为w时,i个物品导致的最优解的总价值,得到下式。显然要求c\[n,w\]。 ![1364126887_3091.jpg][] 状态转移方程: if(j>=w[i]) m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); else m[i][j]=m[i-1][j]; [1364096225_6763.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201303/24/1364096225_6763.jpg [1364096448_8646.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201303/24/1364096448_8646.jpg [1364096951_8384.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201303/24/1364096951_8384.jpg [1364126887_3091.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201303/24/1364126887_3091.jpg
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