HDU 4609 3-idiots

一时失言乱红尘 2022-05-13 23:59 74阅读 0赞

## 题目：[点击打开链接][Link 1] ##

## 题意：给定n（n<=100000）个火柴棍的长度l（l<=100000），问任选三根能组成三角形的概率。 ##

## 分析：这道题实际上就是问能组成多少三角形。注意到每根火柴棍的长度都小于等于10^5，所以可以把火柴棍的长度写成多项式的形式，比如说现在有四根火柴棍长度为1,3,3,4，那么多项式的系数为\{ 0, 1, 0, 2, 1\}，表示长度为0的火柴有0个，长度为1的火柴有1个...，那么我们可以把枚举两根火柴棍并计算相加后的长度这一步转化为两个多项式相乘，这一步可以用FFT加速，时间复杂度降为了O(n\*logn)，因为同一根火柴棍不能取两次而且取火柴棍没有次序问题，所以计算后要减去重复的。（实际上就是个母函数）于是就得到了任意两根火柴棍所能组成的长度，我们可以算出不能组成三角形的情况有多少种，然后一减得到答案。我们可以先求出两根火柴能到达的长度的前缀和sum\[v\]，即长度为1到v的方案有多少种，然后枚举所有火柴棍的长度，为了避免计算重复，我们认为当前枚举的的这根火柴棍是三角形中最长边，并记它的长度为v，那么一共有sum\[v\]种方案不合法，累加起来最后算出答案即可，注意精度问题和long long，直接计算能组成三角形的方案数也行，稍微复杂一点，可以参考kuangbin大牛的博客[https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/07/24/3210565.html][https_www.cnblogs.com_kuangbin_archive_2013_07_24_3210565.html]，讲的很详细，一看就懂。 ##

## 代码： ##

#pragma GCC optimize(2)
    #pragma GCC optimize(3)
    #pragma GCC optimize(4)
    #pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
    #include<unordered_map>
    #include<unordered_set>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<fstream>
    #include<complex>
    #include<cstdlib>
    #include<cstring>
    #include<cassert>
    #include<iomanip>
    #include<string>
    #include<cstdio>
    #include<bitset>
    #include<vector>
    #include<cctype>
    #include<cmath>
    #include<ctime>
    #include<stack>
    #include<queue>
    #include<deque>
    #include<list>
    #include<set>
    #include<map>
    using namespace std;
    #define pt(a) cout<<a<<endl
    #define debug test
    #define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
    #define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
    #define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
    #define all(x) (x).begin(),(x).end()
    #define fi first
    #define se second
    #define SZ(x) ((int)(x).size())
    #define ll long long
    #define ull unsigned long long
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    #define inf 0x3f3f3f3f
    #define eps 1e-10
    #define pi acos(-1.0)
    typedef pair<int,int> PII;
    typedef complex<double> cd;
    const ll mod = 1e9+7;
    const int N = 4e5+10;
    
    ll gcd(ll p,ll q){return q==0?p:gcd(q,p%q);}
    ll qp(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
    int to[4][2]={
       {-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};
    
    char a[N],b[N];
    cd A[N],B[N];
    ll t,n,s[N],cnt[N],c[N];
    
    void fft(cd *x, int n, int type) {
        if(n == 1) return ;
        cd l[n>>1], r[n>>1];
        for (int i = 0; i < n; i += 2) {
            l[i>>1] = x[i];
            r[i>>1] = x[i+1];
        }
        fft(l, n>>1, type);
        fft(r, n>>1, type);
        cd wn(cos(2*pi/n), sin(type*2*pi/n)), w(1, 0), t;
        for(int i = 0; i < (n>>1); i++, w *= wn) {
            t = w*r[i];
            x[i] = l[i] + t;
            x[i+(n>>1)] = l[i] - t;
        }
    }
    
    int main() {
        ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
        cin>>t;
        while(t--) {
            mst(A,0),mst(B,0),mst(s,0),mst(cnt,0);
            cin>>n;
            int len=1;
            for(int i=1;i<=n;i++) {
                cin>>c[i];
                cnt[c[i]]++;
            }
            sort(c+1,c+n+1);
            while(len<2*c[n]) len<<=1;
            for(int i=0;i<=len;i++) A[i]=B[i]=cnt[i];
            fft(A,len,1);
            ///fft(B,len,1);
            for(int i=0;i<=len;i++) A[i]*=A[i];
            fft(A,len,-1);
            for(int i=0;i<=len;i++) cnt[i]=(ll)(A[i].real()/len+0.5);///记得除以长度
            for(int i=1;i<=n;i++) cnt[2*c[i]]--;
            for(int i=0;i<=len;i++) cnt[i]/=2;
            for(int i=1;i<=len;i++) s[i] = s[i-1] + cnt[i];
            ll ans=n*(n-1)*(n-2)/6;
            for(int i=1;i<=n;i++) ans -= s[c[i]];///减去不合法的
            cout<<fixed<<setprecision(7)<<1.0*ans/(n*(n-1)*(n-2)/6)<<endl;
        }
        return 0;
    }

## 参考博客：[https://blog.csdn.net/u014664226/article/details/48163227][https_blog.csdn.net_u014664226_article_details_48163227] ##

[Link 1]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609
[https_www.cnblogs.com_kuangbin_archive_2013_07_24_3210565.html]: https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/07/24/3210565.html
[https_blog.csdn.net_u014664226_article_details_48163227]: https://blog.csdn.net/u014664226/article/details/48163227