如何确定高斯滤波的标准差和窗口大小

╰+攻爆jí腚メ 2022-05-12 10:34 156阅读 0赞

# 高斯函数与高斯滤波 #

一维高斯函数我们都熟悉，形式如下：

G ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − x 2 2 σ 2 ) G(x) = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\} \\exp(-\\frac\{x^2\}\{2\\sigma^2\}) G(x)=2πσ1exp(−2σ2x2)

计算机视觉中，高斯滤波使用的高斯核为 x x x和 y y y两个一维高斯的乘积，两个维度上的标准差 σ \\sigma σ通常相同，形式如下：

G ( x , y ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − x 2 + y 2 2 σ 2 ) G(x, y) = \\frac\{1\}\{2\\pi\\sigma^2\}\\exp(-\\frac\{x^2+y^2\}\{2\\sigma^2\}) G(x,y)=2πσ21exp(−2σ2x2\+y2)

高斯滤波（平滑），即用某一尺寸的二维高斯核与图像进行卷积。高斯核是对连续高斯函数的离散近似，通常对高斯曲面进行离散采样和归一化得出，这里，归一化指的是卷积核所有元素之和为1，下图为标准高斯和 σ = 1.4 \\sigma=1.4 σ=1.4大小为 5 × 5 5\\times5 5×5的高斯核。

![高斯核][izvye1.png]

# 标准差 #

当 μ = 0 \\mu=0 μ=0时，唯一需要控制的参数就是标准差 σ \\sigma σ，多少合适呢？ σ \\sigma σ的确定十分依赖于问题背景，需要具体问题具体分析。但理解 σ \\sigma σ的作用，可以指导调整的方向。

高斯核可以看成是与中心距离负相关的权重。平滑时，调整 σ \\sigma σ实际是在调整周围像素对当前像素的影响程度，**调大 σ \\sigma σ即提高了远处像素对中心像素的影响程度**，滤波结果也就越平滑。高斯曲线随 σ \\sigma σ变化的曲线如下：  
![标准高斯函数][izOixs.png]

从频域角度看，高斯函数的傅立叶变换仍是高斯，两者标准差间的关系如下：

σ x = 1 2 π σ w \\sigma\_x = \\frac\{1\}\{2\\pi \\sigma\_w\} σx=2πσw1

其中， σ x \\sigma\_x σx为空域高斯的标准差， σ w \\sigma\_w σw为对应频域高斯的标准差，在空域进行高斯平滑相当于频域低通滤波， σ x \\sigma\_x σx越大， σ w \\sigma\_w σw越小，频域高斯越集中，高频成分削弱得越多，图像越平滑。

从低通滤波角度考虑，可以对图像做傅立叶变换进行频谱分析，叠加上频域高斯并调整查看效果，找到适合的 σ w \\sigma\_w σw，再推算出空域高斯所需的 σ x \\sigma\_x σx。

# 窗口大小 #

标准差 σ \\sigma σ确定后，接下来需要确定窗口大小。上面讲了高斯核是对连续高斯的离散近似，窗口越大自然近似越好，但高斯函数是钟形曲线，距离中心越远数值越小，足够远处可以忽略不计，但多远算远呢？

钟型曲线在区间 ( μ − σ , μ + σ ) (\\mu - \\sigma, \\mu +\\sigma) (μ−σ,μ\+σ)范围内的面积占曲线下总面积的 68 % 68\\% 68%， ( μ − 2 σ , μ + 2 σ ) (\\mu - 2\\sigma, \\mu +2\\sigma) (μ−2σ,μ\+2σ)范围占 95 % 95\\% 95%， ( μ − 3 σ , μ + 3 σ ) (\\mu - 3\\sigma, \\mu +3\\sigma) (μ−3σ,μ\+3σ)范围占 99.7 % 99.7\\% 99.7%，一般 3 σ 3\\sigma 3σ外的数值已接近于0，可忽略，半径为 3 σ 3\\sigma 3σ即窗口大小为 6 σ × 6 σ 6\\sigma \\times 6\\sigma 6σ×6σ即可，通常取最近的奇数。上述3个范围在一维和二维高斯中示意如下：

![Gaussian n sigma 范围][Gaussian n sigma]

# OpenCV中标准差与窗口大小的换算 #

在OpenCV函数`createGaussianFilter`中，若未指定窗口大小，通过 σ \\sigma σ推算窗口大小方式如下，半径为 σ \\sigma σ的3或4倍：

![Gaussian kernel size][]

若指定了窗口大小，但未指定 σ \\sigma σ大小，则通过窗口大小推算 σ \\sigma σ的方式如下：

σ = 0.3 × ( ( k s i z e − 1 ) × 0.5 − 1 ) + 0.8 \\sigma = 0.3\\times((ksize - 1)\\times0.5 - 1) + 0.8 σ=0.3×((ksize−1)×0.5−1)\+0.8

具体地，在函数`getGaussianKernel`中，当`ksize`不大于7时，直接从内部的 s m a l l g a u s s i a n t a b small\_gaussian\_tab smallgaussiantab取对应大小的高斯核，若大于7，则使用上式计算出 σ \\sigma σ然后套用高斯公式，最后再归一化。

![getGaussianKernel][]

在实际使用时，为了高效，卷积核通常取 \[ 0 , 255 \] \[0, 255\] \[0,255\]范围内的整数（1个Byte），因此高斯核中心最大取值为255时，窗口尺寸的选取只需让高斯核边界值刚好大于0即可。令高斯核尺寸为 n n n，半径为 r r r， r = n − 1 2 r = \\frac\{n-1\}\{2\} r=2n−1，高斯核 x x x轴上边界 ( r , 0 ) (r, 0) (r,0)处与中心 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)处数值之比如下：

G ( r , 0 ) G ( 0 , 0 ) = exp ⁡ ( − r 2 2 × ( 0.3 ( r − 1 ) + 0.8 ) 2 ) \\frac\{G(r, 0)\}\{G(0, 0)\} = \\exp(-\\frac\{r^2\}\{2 \\times (0.3(r-1)+0.8)^2\}) G(0,0)G(r,0)=exp(−2×(0.3(r−1)\+0.8)2r2)

当 r r r足够大，其极限为 exp ⁡ ( − 1 2 × 0. 3 2 ) = 0.00386592 \\exp(-\\frac\{1\}\{2\\times0.3^2\})=0.00386592 exp(−2×0.321)=0.00386592，若中心值为255，则边界值为 255 ∗ 0.00386592 = 0.9858096 ≈ 1 255\*0.00386592=0.9858096 \\approx 1 255∗0.00386592=0.9858096≈1，是合适的。但公式是如何设计出来的还不清楚，这里只是校验了其性质，sigh。

# 参考 #

*  [getGaussianKernel][getGaussianKernel 1]
 *  [Calculate the Gaussian filter’s sigma using the kernel’s size][Calculate the Gaussian filter_s sigma using the kernel_s size]
 *  [Gaussian blur][]
 *  [Gaussian Blur - Standard Deviation, Radius and Kernel Size][Gaussian Blur - Standard Deviation_ Radius and Kernel Size]
 *  [How to determine the window size of a Gaussian filter][]
 *  [Optimal Gaussian filter radius][]
 *  [Fast Almost-Gaussian Filtering][]
 *  [Gaussian Smoothing][]

本文出自本人博客：[如何确定高斯滤波的标准差和窗口大小][Link 1]

[izvye1.png]: /images/20220512/09fc81212a914a61ab8cd01c44c66e91.png
[izOixs.png]: /images/20220512/fb1dc66dfc1f4102b0f8ab8d21727163.png
[Gaussian n sigma]: /images/20220512/e56548f06d6d4dd5b7413c1690407af5.png
[Gaussian kernel size]: /images/20220512/305e84c582d54436840c7d09b7499775.png
[getGaussianKernel]: /images/20220512/a9a9ad67c5474668a57eb06d0fe425b4.png
[getGaussianKernel 1]: https://docs.opencv.org/master/d4/d86/group__imgproc__filter.html#gac05a120c1ae92a6060dd0db190a61afa
[Calculate the Gaussian filter_s sigma using the kernel_s size]: https://stackoverflow.com/questions/14060017/calculate-the-gaussian-filters-sigma-using-the-kernels-size
[Gaussian blur]: https://wiki2.org/en/Gaussian_blur#Mechanics
[Gaussian Blur - Standard Deviation_ Radius and Kernel Size]: https://dsp.stackexchange.com/questions/10057/gaussian-blur-standard-deviation-radius-and-kernel-size
[How to determine the window size of a Gaussian filter]: https://stackoverflow.com/questions/16165666/how-to-determine-the-window-size-of-a-gaussian-filter
[Optimal Gaussian filter radius]: http://chemaguerra.com/gaussian-filter-radius/
[Fast Almost-Gaussian Filtering]: https://ieeexplore.ieee.org/document/5692551/
[Gaussian Smoothing]: http://www.cse.dmu.ac.uk/~sexton/WWWPages/HIPR/html/gsmooth.html
[Link 1]: https://blog.shinelee.me/2018/09-19-%E5%A6%82%E4%BD%95%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E7%9A%84%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE%E5%92%8C%E7%AA%97%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E5%B0%8F.html