高斯噪声与高斯滤波

た入场券 2022-06-07 03:24 397阅读 0赞

## 噪声 ##

### 噪声表现形式 ###

噪声在图像上常表现为一引起较强视觉效果的孤立像素点或像素块。一般，噪声信号与要研究的对象不相关，它以无用的信息形式出现，扰乱图像的可观测信息。通俗的说就是噪声让图像不清楚。

### 噪声对数字图像的影响 ###

对于数字图像信号，噪声表为或大或小的极值，这些极值通过加减作用于图像像素的真实灰度值上，对图像造成亮、暗点干扰，极大降低了图像质量，影响图像复原、分割、特征提取、图像识别等后继工作的进行。

## 高斯噪声 ##

### 性质 ###

噪声可以看作随机信号，具有统计学上的特征属性。功率谱密度（功率的频谱分布PDF）即是噪声的特征之一，通过功率谱密度分类噪声。

高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。高斯白噪声的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。

概率密度函数PDF：

p(x)=12π−−√δe−(x−μ)2δ2

其中z表示灰度值，μ表示z的平均值或期望值，σ表示z的标准差。标准差的平方σ2称为z的方差。  
产生原因：1）图像传感器在拍摄时市场不够明亮、亮度不够均匀；2）电路各元器件自身噪声和相互影响；3）图像传感器长期工作，温度过高。

![Center][]

### 表现形式 ###

#### 信号 ####

![图2][2]

#### 图像 ####

原图像

![Center 1][]

加入高斯噪声之后

![图1][1]

## 高斯滤波 ##

### 定义 ###

高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像。其作用原理和均值滤波器类似，都是取滤波器窗口内的像素的均值作为输出。其窗口模板的系数和均值滤波器不同，均值滤波器的模板系数都是相同的为1；而高斯滤波器的模板系数，则随着距离模板中心的增大而系数减小。所以，高斯滤波器相比于均值滤波器对图像个模糊程度较小。

一个二维的高斯函数如下：

h(x,y)=e−x2\+y22σ2

![图4][4]

其中(x,y)为点坐标，在图像处理中可认为是整数；σ是标准差。要想得到一个高斯滤波器的模板，可以对高斯函数进行离散化，得到的高斯函数值作为模板的系数。例如：要产生一个3×3的高斯滤波器模板，以模板的中心位置为坐标原点进行取样。模板在各个位置的坐标，如下所示，其中i轴（和x轴位置相同）水平向右，j轴（和y轴反方向）竖直向下：

![图3][3]

这样，将各个位置的坐标带入到高斯函数中，得到的值就是模板的系数。  
对于窗口模板的大小为 (2k\+1)×(2k\+1)，模板中各个元素值的计算公式如下：

Hi,j=12π−−√σ2e−(i−k−1)2\+(j−k−1)22σ2

理论上，高斯分布在所有定义域上都有非负值，这就需要一个无限大的卷积核。实际上，仅需要取均值周围3倍标准差内的值，以外部份直接去掉即可。

依照上面的公式计算出来的模板有两种形式：小数和整数。

小数形式的模板，就是直接计算得到的值，没有经过任何的处理；  
整数形式的，则需要进行归一化处理，将模板左上角的值归一化为1，下面会具体介绍。使用整数的模板时，需要在模板的前面加一个系数，系数为1∑(i,j)∈wwi,j，也就是模板系数和的倒数。

如下图为一个标准差为1.0的整数值高斯核。

![这里写图片描述][SouthEast]

### 性质 ###

高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：

（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向．

（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真．

（3）高斯函数的傅立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．

（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷．

（5）由于高斯函数的可分离性，较大尺寸的高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长．

### 高斯核的生成 ###

知道生成的原理，实现起来也就不困难了。

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
    {
        static const double pi = 3.1415926;
        int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点
        double x2, y2;
        for (int i = 0; i < ksize; i++)
        {
            x2 = pow(i - center, 2);
            for (int j = 0; j < ksize; j++)
            {
                y2 = pow(j - center, 2);
                double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
                g /= 2 * pi * sigma;
                window[i][j] = g;
            }
        }
        double k = 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1
        for (int i = 0; i < ksize; i++)
        {
            for (int j = 0; j < ksize; j++)
            {
                window[i][j] *= k;
            }
        }
    }

### σ值的意义及选取 ###

通过上述的实现过程，不难发现，高斯滤波器模板的生成最重要的参数就是高斯分布的标准差σ。标准差代表着数据的离散程度，如果σ较小，那么生成的模板的中心系数较大，而周围的系数较小，这样对图像的平滑效果就不是很明显；反之，σ较大，则生成的模板的各个系数相差就不是很大，比较类似均值模板，对图像的平滑效果比较明显。

来看下一维高斯分布的概率分布密度图：

![图6][6]

横轴表示可能得取值x，竖轴表示概率分布密度F(x)，那么不难理解这样一个曲线与x轴围成的图形面积为1。σ（标准差）决定了这个图形的宽度，可以得出这样的结论：σ越大，则图形越宽，尖峰越小，图形较为平缓；σ越小，则图形越窄，越集中，中间部分也就越尖，图形变化比较剧烈。这其实很好理解，如果sigma也就是标准差越大，则表示该密度分布一定比较分散，由于面积为1，于是尖峰部分减小，宽度越宽（分布越分散）；同理，当σ越小时，说明密度分布较为集中，于是尖峰越尖，宽度越窄！

于是可以得到如下结论：

*  σ越大，分布越分散，各部分比重差别不大，于是生成的模板各元素值差别不大，类似于平均模板；
 *  σ越小，分布越集中，中间部分所占比重远远高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值远远大于其他元素值，于是自然而然就相当于中间值得点运算。

## 参考文献 ##

[高斯噪声][Link 1]  
[图像处理基础(4)：高斯滤波器详解][4 1]

[Center]: /images/20220607/be03042812dd4017aa64251984401d79.png
[2]: /images/20220607/9347dcf6065641c19b745dd0701fbb90.png
[Center 1]: /images/20220607/235f454b17144502a6bab3105a808489.png
[1]: /images/20220607/1a58b91e04654033a269afd7032583ce.png
[4]: /images/20220607/209961c7fcbf479390dd6463037dfb35.png
[3]: /images/20220607/3790256d30b7460f9ab0281569d5c117.png
[SouthEast]: /images/20220607/567278bbae0042d786baaeb6e639f16c.png
[6]: /images/20220607/eab7e51c56134882b04839d24ecd53e8.png
[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/高斯噪声/8587563?fr=aladdin
[4 1]: http://www.cnblogs.com/wangguchangqing/p/6407717.html