MatLab矩阵计算

系统管理员 2022-04-10 08:22 338阅读 0赞

取名MATLAB即Matrix Laboratory 矩阵实验室的意思。

例如： 在MATLAB命令窗口输入命令：  
a=\[1,1.5,2,9,7; 0,3.6,0.5,-4,4;  
7,10,-3,22,33;3,7,8.5,21,6;  
3,8,0,90,-20\]  
将显示一个5\*5矩阵。

MATLAB的数据与变量  
① 命名规则  
在MATLAB 6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，严格区分字母的大小写。MATLAB提供的标准函数名必须用小写字母。  
② 变量查询函数who与whos  
作用都是列出在matlab工作空间中已经驻留的变量名清单。不同的是whos在给出驻留变量的同时，还给出他们的维数及性质. clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。  
③ 永久变量  
在matlab工作内存中,驻留了几个由系统本身在启动时定义的变量，我们称为永久变量。永久变量用who指令是查看不到的，只可随时调用

eps — 容差变量，定义为1.0到最近浮点数的距离,在 pc机上= 2-52  
pi — 圆周率的近似值3.1415926  
inf或Inf — 表示正无大,定义为1/0  
NaN — 非数，它产生于0× ，0/0，/ 等运算  
i，j — 虚数单位  
ans — 对于未赋值运算结果，自动赋给ans

１．建立矩阵  
　　建立矩阵可以用:直接输入法、利用函数建立矩阵和利用M文件建立矩阵。  
直接输入法：  
规则:  
① 矩阵元素必须用\[ \]括住；  
② 同一行的各元素之间用空格或逗号分隔；  
③ 在\[ \]内矩阵的行与行之间必须用分号分隔).

利用函数建立数值矩阵：MATLAB提供了许多生成和操作矩阵的函数，可以利用它们去建立矩阵。

\[ \] matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。  
eye(size(A)) 产生与A矩阵同阶的单位矩阵  
zeros(m,n) 产生0矩阵  
ones(m,n) 产生一个元素全为1的矩阵  
rand (m,n) 产生随机元素的矩阵  
Size(a) 返回包含两个元素的向量  
Length(a) 返回向量的最大者。  
reshape(A,m,n) 返回一个m×n矩阵，且该矩阵中的元素是按照列方法从矩阵A中提取的

利用M文件建立矩阵：对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。其步骤为：  
第一步：使用编辑程序输入矩阵。  
第二步：把输入的内容以纯文本方式存盘, 并把文件名改为\*.m。  
第三步：在MATLAB命令窗口中输入文件名，就会建立一个矩阵，可供以后显示和调用。

冒号表达式  
　　在MATLAB中，冒号是一个重要的运算符。利用它可以产生向量，还可用来拆分矩阵。冒号表达式的一般格式是：  
e1:e2:e3  
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。冒号表达式可产生一个由e1开始到e3结束，以步长e2自增的行向量。

MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。  
例如：　 A= \[1 2 3;4 5 6\]　  
　　　　 B=fix(pi\*A) 　 C=cos(pi\*B） D=abs(B)  
自然对数 E=log(D) F=log10(E)  
sqrt(x) exp(x) tan (x) ctan (x)  
函数使用说明： (1) 三角函数以弧度为单位计算。 (2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。 (3) 用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。  
(4)函数一定是出现在等式的右边  
(5)函数允许嵌套

４．矩阵的基本运算  
（１）矩阵转置 A’  
（２）矩阵加和减 A+B , A-B  
规则：  
 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。  
 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。  
（３）矩阵乘法 A\*B  
规则：  
① A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数  
② 标量可与任何矩阵相乘。

（４）矩阵除法 A\\b=inv(A)\*b  
在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\\B和B/A运算可以实现。A\\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)\*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B\*inv(A)。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\\B≠B/A。

（５）矩阵的乘方 A^n , A^p

对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，A是标量A^p使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如A,p都是矩阵，A^p则无意义。

5．矩阵数组运算  
(1) 数组的乘: A.\*B A,B必须同维，或其中之一为标量.  
(2) 数组的左除: A.\\B 将得到一个矩阵，该矩阵的元素维数组A和数组B中的每个相应元素进行B(i,j)/A(i,j)运算的结果.  
(3) 数组的乘方: A.^B 以A中的元素为底，B中的相应元素为幂作乘方运算，相当于计算\[A(i,j)^B(i,j)\]。A,B必须同维,或其中之一为标量.

数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义  
上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同。  
① 数组加减(.+ , .－)  
a.+b  
a.－b

② 数组的乘(  ）  
ab —— a，b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。  
a=\[1 2 3;4 5 6;7 8 9\]; b=\[2 4 6;1 3 5;7 9 10\];  
a.\*b  
ans =  
2 8 18  
4 15 30  
49 72 90

③ 数组的除( ./ .\\ ）  
a./b=b.\\a  
a.\\b=b./a  
a./b=b.\\a — 都是a的元素被b的对应元素除  
a.\\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元素除  
例: a=\[1 2 3\];b=\[4 5 6\]; c1=a.\\b; c2=b./a  
c1 = 4.0000 2.5000 2.0000  
c2 = 4.0000 2.5000 2.0000

④ 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂

例:  
a=\[1 2 3\];b=\[4 5 6\];  
z=a.^2  
z =  
1.00 4.00 9.00  
z=a.^b  
z =  
1.00 32.00 729.00

6、字符串

在MATLAB中，字符串是用单撇号括起来的字符序列。MATLAB将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符，其标识方法和数值向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。  
字符串是以ASCII码形式存储的。abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。相反，char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。  
与字符串有关的另一个重要函数是eval，其调用格式为： eval(t) 其中t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。

【例1】 求解线性方程组AX=B  
　　 1 1.5 2 9 7 3  
　　 0 3.6 0.5 -4 4 -4  
其中A= 7 10 -3 22 33 ， B= 20  
　　 3 7 8.5 21 6 5  
　　 3 8 0 90 -20 16

在MATLAB命令窗口输入命令：  
a=\[1,1.5,2,9,7,0;0,3.6,0.5,-4,4,0;  
7,10,-3,22,33;3,7,8.5,21,6；3,8,0,90,-20\];  
b=\[3;-4;20;5;16\];  
x=a\\b

得到的结果是：x =3.5653  
\-0.9255  
\-0.2695  
0.1435  
0.0101  
或者x=inv(a)\*b

【例2】 求方程 x4+7x3 +9x-20=0的全部根。  
在MATLAB命令窗口输入：  
p=\[1,7,0,9,-20\]; %建立多项式系数向量  
x=roots(p) %求根

得到的结果是：  
x =  
\-7.2254  
\-0.4286 + 1.5405i  
\-0.4286 - 1.5405i  
1.0826