JavaScript 浮点数陷阱及解法

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2022-04-03 03:24 197阅读 0赞

众所周知，JavaScript 浮点数运算时经常遇到会 `0.000000001` 和 `0.999999999` 这样奇怪的结果，如 `0.1+0.2=0.30000000000000004`、`1-0.9=0.09999999999999998`，很多人知道这是浮点数误差问题，但具体就说不清楚了。本文帮你理清这背后的原理以及解决方案，还会向你解释JS中的大数危机和四则运算中会遇到的坑。

## 浮点数的存储 ##

首先要搞清楚 JavaScript 如何存储小数。和其它语言如 Java 和 Python 不同，JavaScript 中所有数字包括整数和小数都只有一种类型 — `Number`。它的实现遵循 [IEEE 754][] 标准，使用 64 位固定长度来表示，也就是标准的 double 双精度浮点数（相关的还有float 32位单精度）。计算机组成原理中有过详细介绍，如果你不记得也没关系。

这样的存储结构优点是可以归一化处理整数和小数，节省存储空间。

64位比特又可分为三个部分：

*  符号位S：第 1 位是正负数符号位（sign），0代表正数，1代表负数
 *  指数位E：中间的 11 位存储指数（exponent），用来表示次方数
 *  尾数位M：最后的 52 位是尾数（mantissa），超出的部分自动进一舍零

[![64 bit allocation][]][64 bit allocation]

实际数字就可以用以下公式来计算：  
  
[![latex expression][]][latex expression]

注意以上的公式遵循科学计数法的规范，在十进制是为0<M<10，到二进行就是0<M<2。也就是说整数部分只能是1，所以可以被舍去，只保留后面的小数部分。如 4.5 转换成二进制就是 100.1，科学计数法表示是 1.001\*2^2，舍去1后 `M = 001`。E是一个无符号整数，因为长度是11位，取值范围是 0~2047。但是科学计数法中的指数是可以为负数的，所以再减去一个中间数 1023，\[0,1022\]表示为负，\[1024,2047\] 表示为正。如4.5 的指数`E = 1025`，尾数M为 001。

最终的公式变成：

[![latex expression][latex expression 1]][latex expression 1]

所以 `4.5` 最终表示为（M=001、E=1025）：  
  
[![4.5 allocation map][]][4.5 allocation map]

(图片由此生成 [http://www.binaryconvert.com/convert\_double.html][http_www.binaryconvert.com_convert_double.html])

下面再以 `0.1` 例解释浮点误差的原因， `0.1` 转成二进制表示为 `0.0001100110011001100`(1100循环)，`1.100110011001100x2^-4`，所以 `E=-4+1023=1019`；M 舍去首位的1，得到 `100110011...`。最终就是：

[![0.1 allocation map][]][0.1 allocation map]  
  
转化成十进制后为 `0.100000000000000005551115123126`，因此就出现了浮点误差。

### 为什么 `0.1+0.2=0.30000000000000004`？ ###

计算步骤为：

// 0.1 和 0.2 都转化成二进制后再进行运算
    0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010 +
    0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010 =
    0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111
    
    // 转成十进制正好是 0.30000000000000004

### 为什么 `x=0.1` 能得到 `0.1`？ ###

恭喜你到了看山不是山的境界。因为 mantissa 固定长度是 52 位，再加上省略的一位，最多可以表示的数是 `2^53=9007199254740992`，对应科学计数尾数是 `9.007199254740992`，这也是 JS 最多能表示的精度。它的长度是 16，所以可以使用 `toPrecision(16)` 来做精度运算，超过的精度会自动做凑整处理。于是就有：

0.10000000000000000555.toPrecision(16)
    // 返回 0.1000000000000000，去掉末尾的零后正好为 0.1
    
    // 但你看到的 `0.1` 实际上并不是 `0.1`。不信你可用更高的精度试试：
    0.1.toPrecision(21) = 0.100000000000000005551

### 大数危机 ###

可能你已经隐约感觉到了，如果整数大于 9007199254740992 会出现什么情况呢？  
由于 E 最大值是 1023，所以最大可以表示的整数是 `2^1024 - 1`，这就是能表示的最大整数。但你并不能这样计算这个数字，因为从 `2^1024` 开始就变成了 `Infinity`

> Math.pow(2, 1023)
    8.98846567431158e+307
    
    > Math.pow(2, 1024)
    Infinity

那么对于 `(2^53, 2^63)` 之间的数会出现什么情况呢？

*  `(2^53, 2^54)` 之间的数会两个选一个，只能精确表示偶数
 *  `(2^54, 2^55)` 之间的数会四个选一个，只能精确表示4个倍数
 *  ... 依次跳过更多2的倍数

下面这张图能很好的表示 JavaScript 中浮点数和实数（Real Number）之间的对应关系。我们常用的 `(-2^53, 2^53)` 只是最中间非常小的一部分，越往两边越稀疏越不精确。  
[![fig1.jpg][]][fig1.jpg]

在淘宝早期的订单系统中把订单号当作数字处理，后来随意订单号暴增，已经超过了  
`9007199254740992`，最终的解法是把订单号改成字符串处理。

要想解决大数的问题你可以引用第三方库 [bignumber.js][]，原理是把所有数字当作字符串，重新实现了计算逻辑，缺点是性能比原生的差很多。所以原生支持大数就很有必要了，现在 TC39 已经有一个 Stage 3 的提案 [proposal bigint][]，大数问题有望彻底解决。在浏览器正式支持前，可以使用 Babel 7.0 来实现，它的内部是自动转换成 [big-integer][] 来计算，要注意的是这样能保持精度但运算效率会降低。

### `toPrecision` vs `toFixed` ###

数据处理时，这两个函数很容易混淆。它们的共同点是把数字转成字符串供展示使用。注意在计算的中间过程不要使用，只用于最终结果。

不同点就需要注意一下：

*  `toPrecision` 是处理精度，精度是从左至右第一个不为0的数开始数起。
 *  `toFixed` 是小数点后指定位数取整，从小数点开始数起。

两者都能对多余数字做凑整处理，也有些人用 `toFixed` 来做四舍五入，但一定要知道它是有 Bug 的。

如：`1.005.toFixed(2)` 返回的是 `1.00` 而不是 `1.01`。

原因： `1.005` 实际对应的数字是 `1.00499999999999989`，在四舍五入时全部被舍去！

解法：使用专业的四舍五入函数 `Math.round()` 来处理。但 `Math.round(1.005 * 100) / 100` 还是不行，因为 `1.005 * 100 = 100.49999999999999`。还需要把乘法和除法精度误差都解决后再使用 `Math.round`。可以使用后面介绍的 `number-precision#round` 方法来解决。

## 解决方案 ##

回到最关心的问题：如何解决浮点误差。首先，理论上用有限的空间来存储无限的小数是不可能保证精确的，但我们可以处理一下得到我们期望的结果。

### 数据展示类 ###

当你拿到 `1.4000000000000001` 这样的数据要展示时，建议使用 `toPrecision` 凑整并 `parseFloat` 转成数字后再显示，如下：

parseFloat(1.4000000000000001.toPrecision(12)) === 1.4  // True

封装成方法就是：

function strip(num, precision = 12) {
      return +parseFloat(num.toPrecision(precision));
    }

为什么选择 `12` 做为默认精度？这是一个经验的选择，一般选12就能解决掉大部分0001和0009问题，而且大部分情况下也够用了，如果你需要更精确可以调高。

### 数据运算类 ###

对于运算类操作，如 `+-*/`，就不能使用 `toPrecision` 了。正确的做法是把小数转成整数后再运算。以加法为例：

/**
     * 精确加法
     */
    function add(num1, num2) {
      const num1Digits = (num1.toString().split('.')[1] || '').length;
      const num2Digits = (num2.toString().split('.')[1] || '').length;
      const baseNum = Math.pow(10, Math.max(num1Digits, num2Digits));
      return (num1 * baseNum + num2 * baseNum) / baseNum;
    }

以上方法能适用于大部分场景。遇到科学计数法如 `2.3e+1`（当数字精度大于21时，数字会强制转为科学计数法形式显示）时还需要特别处理一下。

能读到这里，说明你非常有耐心，那我就放个福利吧。遇到浮点数误差问题时可以直接使用  
[https://github.com/dt-fe/number-precision][https_github.com_dt-fe_number-precision]

完美支持浮点数的加减乘除、四舍五入等运算。非常小只有1K，远小于绝大多数同类库（如Math.js、BigDecimal.js），100%测试全覆盖，代码可读性强，不妨在你的应用里用起来！

参考链接：

[https://github.com/MikeMcl/decimal.js/][https_github.com_MikeMcl_decimal.js]

[https://github.com/camsong/blog/issues/9][https_github.com_camsong_blog_issues_9]

[IEEE 754]: http://grouper.ieee.org/groups/754/
[64 bit allocation]: /images/20220403/912ac1228ce84debaf852ed6881f7ead.png
[latex expression]: /images/20220403/2326d8d8794d40d4bf4eadfc4baa6a46.png
[latex expression 1]: /images/20220403/2ab1ffb9902f457ba9b5181385d0d8dc.png
[4.5 allocation map]: /images/20220403/db0b7e7170644e598268c39e8dcbe612.png
[http_www.binaryconvert.com_convert_double.html]: http://www.binaryconvert.com/convert_double.html
[0.1 allocation map]: /images/20220403/062de554fe944b15b4ad7ece6236bb11.png
[fig1.jpg]: /images/20220403/ae63d252c08e483bbbe8f35bbabbe217.png
[bignumber.js]: https://github.com/MikeMcl/bignumber.js/
[proposal bigint]: https://github.com/tc39/proposal-bigint
[big-integer]: https://github.com/peterolson/BigInteger.js
[https_github.com_dt-fe_number-precision]: https://github.com/dt-fe/number-precision
[https_github.com_MikeMcl_decimal.js]: https://github.com/MikeMcl/decimal.js/
[https_github.com_camsong_blog_issues_9]: https://github.com/camsong/blog/issues/9