HDU 2824 The Euler function (欧拉函数)

雨点打透心脏的1/2处 2022-03-29 05:48 134阅读 0赞

The Euler function

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Problem Description

The Euler function phi is an important kind of function in number theory,  (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate  (a)+ (a+1)+....+ (b)

Input

There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).

Output

Output the result of  (a)+ (a+1)+....+ (b)

Sample Input

3 100

Sample Output

3042

Source

2009 Multi-University Training Contest 1 - Host by TJU

解析：（转）

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p\-1.

2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p\-1)\*p^(k\-1)。因为除了p的倍数都与n互质

3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

E(k)=(p1\-1)(p2\-1)...(pi\-1)\*(p1^(a1\-1))(p2^(a2\-1))...(pi^(ai\-1))

= k\*(p1\-1)(p2\-1)...(pi\-1)/(p1\*p2\*...\*pi)

= k\*(1\-1/p1)\*(1\-1/p2)...(1\-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)\*a;

若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)\*(a\-1);

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    
    using namespace std;
    
    const int N=3000010;
    
    int prime[N],isprime[N];
    int phi[N];
    
    void get_phi(){
        int i,j,cnt=0;
        for(i=2;i<N;i++){
            if(isprime[i]==0){
                prime[cnt++]=i;
                phi[i]=i-1;
            }
            for(j=0;j<cnt && i*prime[j]<N;j++){     //注意这里，i*prime[j]<N 可换成 prime[j]<=N/i（带等号）
                isprime[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]==0)
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                else
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    
    int main(){
    
        //freopen("input.txt","r",stdin);
    
        long long sum;
        int a,b;
        get_phi();
        while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
            sum=0;
            for(int i=a;i<=b;i++)
                sum+=phi[i];
            cout<<sum<<endl;
        }
        return 0;
    }