MATLAB入门(2)—数值分析

骑猪看日落 2022-03-28 19:08 407阅读 0赞

**2****．****1****微分**

diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：

diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值

diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值

diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值

diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值

数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。

先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项：

>>S1 = '6\*x^3-4\*x^2+b\*x-5';

>>S2 = 'sin(a)';

>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';

>>diff(S1)

ans=18\*x^2-8\*x+b

>>diff(S1,2)

ans= 36\*x-8

>>diff(S1,'b')

ans= x

>>diff(S2)

ans=

cos(a)

>>diff(S3)

ans=-3\*t^2/(1+t^4)-4\*(1-t^3)/(1+t^4)^2\*t^3

>>simplify(diff(S3))

ans= t^2\*(-3+t^4-4\*t)/(1+t^4)^2

**2****．****2****积分**

int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积

分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个：

int(f) 传回f对预设独立变数的积分值

int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值

int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为\[a,b\]，a和b为数值式

int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为\[a,b\]，a和b为数值式

int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为\[m,n\]，m和n为符号式

我们示范几个例子：

>>S1 = '6\*x^3-4\*x^2+b\*x-5';

>>S2 = 'sin(a)';

>>S3 = 'sqrt(x)';

>>int(S1)

ans= 3/2\*x^4-4/3\*x^3+1/2\*b\*x^2-5\*x

>>int(S2)

ans= -cos(a)

>>int(S3)

ans= 2/3\*x^(3/2)

>>int(S3,'a','b')

ans= 2/3\*b^(3/2)- 2/3\*a^(3/2)

>>int(S3,0.5,0.6)

ans= 2/25\*15^(1/2)-1/6\*2^(1/2)

>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值

ans= 0.0741

**2****．****3****求解常微分方程式**

MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y''　，

condition则为初始条件。

假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件

y'=3x2, y(2)=0.5

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25

y'=3y+exp(2x), y(0)=3

对应上述常微分方程式的符号运算式为：

>>soln\_1 = dsolve('Dy = 3\*x^2','y(2)=0.5')

ans= x^3-7.500000000000000

>>ezplot(soln\_1,\[2,4\]) % 看看这个函数的长相

>>soln\_2 = dsolve('Dy = 2\*x\*cos(y)^2','y(0) = pi/4')

ans= atan(x^2+1)

>>soln\_3 = dsolve('Dy = 3\*y + exp(2\*x)',' y(0) = 3')

ans= -exp(2\*x)+4\*exp(3\*x)

**2****．****4****非线性方程式的实根**

要求任一方程式的根有三步骤：

先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3，

则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。

代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。

由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。

以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。

例一、方程式为

sin(x)=0

我们知道上式的根有 ，求根方式如下：

>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根

r=3.1416

>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根

r = 6.2832

例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下：

>> x=linspace(-2,3);

>> y=humps(x);

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根

>> r=fzero('humps',1.2)

r = 1.2995

例三、方程式为y=x.^3-2\*x-5

这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下：

% m-function, f\_1.m

function y=f\_1(x) % 定义 f\_1.m 函数

y=x.^3-2\*x-5;

>> x=linspace(-2,3);

>> y=f\_1(x);

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根

[![image004][]][image004 1]

>> r=fzero('f\_1',2); % 决定在2附近的根

r = 2.0946

>> p=\[1 0 -2 -5\]

>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证

r =

2.0946

\-1.0473 + 1.1359i

\-1.0473 - 1.1359i

**2****．****5****线性代数方程（组）求解**

我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下

AX=B

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \\ 做运算，即是 X=A\\B。

如果将原方程式改写成 XA=B

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。

若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)\*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B\*inv(A)。

我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法：

>> A=\[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1\]; % 将等式的左边系数键入

>> B=\[10 5 -1\]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置

>> X=A\\B % 先以左除运算求解

X = % 注意X为行向量

\-2

>> C=A\*X % 验算解是否正确

C = % C=B

\-1

>> A=A'; % 将A先做转置

>> B=\[10 5 -1\];

>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同

X = % 注意X为列向量

10 5 -1

>> X=B\*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解

[image004]: /images/20220328/7a85435a5b6943caaefb5e540e89ec28.png
[image004 1]: https://vbthpq.bay.livefilestore.com/y1mhKFzOconGOgE_baPy-JBvCsSfyp0xGX1EIJnF6XM2rgSS4clPxKNrLaYuJt6aDe5d_K4Z1q9fZi7HgqEoZCKw7bXNDAvSaA6nvM_iBncbJIp50X0nPpPX-TNxjEfsmUg3TMKi1kTB2VYpMlhYiPj6w/image004%5B3%5D.gif