蓝桥杯训练历届试题 k倍区间（前缀数组和）

ゝ一纸荒年。 2022-03-11 08:07 173阅读 0赞

**问题描述**

**　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间\[i, j\]是K倍区间。  
  
  
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？**

**输入格式**

**　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)  
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)**

**输出格式**

**　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。**

**样例输入**

**5 2  
1  
2  
3  
4  
5**

**样例输出**

**6**

**数据规模和约定**

**　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M  
　　CPU消耗 < 2000ms  
  
  
  
  
　　请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。  
  
  
　　注意：  
　　main函数需要返回0;  
　　只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;  
　　不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。  
　　所有依赖的函数必须明确地在源文件中 \#include <xxx>  
　　不能通过工程设置而省略常用头文件。  
  
  
　　提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。**

求区间\[l,r\]的和是k的倍数的个数。求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定sum\[i\]表示第1个元素到第i个元素的和。那么sum\[r\] - sum\[l-1\]就是区间\[l,r\]的和。区间\[l,r\]的和是k的倍数即(sum\[r\] - sum\[l-1\])%k == 0 即sum\[r\]%k == sum\[l-1\]%k  
　　那么，我们求出每个前缀和，在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。我们可以在计算完前缀和以后，使用两层for循环来计数k倍区间的个数。但是由于数据量较大，这样是会超时的。那么我们是否能在计算前缀和的过程中来记录k倍区间的个数呢？  
我们用一个数组cnt\[i\]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数。举个例子：  
　　数列 1 2 3 4 5   mod = 2  
　　对前1个数的和取模， 为1 之前有0个前缀和取模后为1，个数+0  
　　对前2个数的和取模， 为1 之前有1个前缀和取模后为1，个数+1  
　　对前3个数的和取模， 为0 之前有0个前缀和取模后为0, 个数+0  
　　对前4个数的和取模， 为0 之前有1个前缀和取模后为0，个数+1  
　　对钱5个数的和取模， 为1 之前有2个前缀和取模后为1，个数+2  
　　到目前为止ans = 4。但是ans应该等于6，因为这样计算后，我们漏掉了前i个数的和取模是k的倍数的情况，即\[0,i\]区间和是k的倍数，因此，我们要在ans = 4 的基础上 加上前缀和取模后为0的个数 即ans+2 = 6;

#include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<cstring>
    #include<string>
    typedef long long LL;
    using namespace std;
    
    LL a[100000+10],b[100000+10],c[100000+10];
    int main()
    {
    	LL n,m,j,k,i,T,ans=0;
    	memset(b,0,sizeof(b));
    	scanf("%lld%lld",&n,&k);
    	for (i=1;i<=n;i++)
    	{
    		scanf("%lld",&a[i]);
    		a[i] = (a[i-1] + a[i] ) % k;
    		ans += b[a[i]];
    		b[a[i]]++;
    	}
    	ans += b[0];	
    	printf("%lld\n",ans);
    
    	return 0;
    }