牛顿迭代法求求一个数的算术平方根

深藏阁楼爱情的钟 2022-01-07 16:15 360阅读 0赞

产生背景: 牛顿 [迭代法][Link 1]（ **Newton's method**）又称为 **牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson  
method）**，它是 [牛顿][Link 2]在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)  
= 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) =  
0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

**牛顿迭代公式**

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0））做[曲线][Link 3]y = f(x）的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1））做曲线y = f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），称为r的n+1次近似值，上式称为**牛顿迭代公式**。

解非线性方程f(x)=0的[牛顿法][Link 4]是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x）在x0点附近展开成[泰勒][Link 5]级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2\*f''(x0)/2! +…  
取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0  
设f'(x0）≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）。

[ ][Link 6]

牛顿迭代法示意图

军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B  
= A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基该方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 (摘自百度百科:[http://baike.baidu.com/view/643093.htm][http_baike.baidu.com_view_643093.htm])

参考代码如下：

/\*\*

只考虑非负实数的算术平方根，

如果要考虑完全，则自己再修改

\*/

\#include <iostream>  
\#include <math.h>

using namespace std;

int main()  
\{  
double a ;  
cin>>a ;  
double x = 1 ;  
while(x\*x - a > 0.0000001 || x\*x - a < -0.0000001)  
\{  
x = (x + a/x)/2 ;  
\}  
cout<< fabs(x) ;  
return 0;  
\}

转载于:https://www.cnblogs.com/ronaldHU/archive/2012/10/07/2714344.html

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/649495.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/1511.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/400.htm
[Link 4]: http://baike.baidu.com/view/1504001.htm
[Link 5]: http://baike.baidu.com/view/51376.htm
[Link 6]: http://baike.baidu.com/albums/643093/643093/0/0.html#0%24504ec7f9b291b563242df253
[http_baike.baidu.com_view_643093.htm]: http://baike.baidu.com/view/643093.htm