[Usaco2009 Feb]Revamping Trails 道路升级

桃扇骨 2021-12-24 16:27 168阅读 0赞

## 题目描述 ##

### 每天,农夫John需要经过一些道路去检查牛棚N里面的牛. 农场上有M(1<=M<=50,000)条双向泥土道路,编号为1..M. 道路i连接牛棚P1\_i和P2\_i (1 <= P1\_i <= N; 1 <= P2\_i<= N). John需要T\_i (1 <= T\_i <= 1,000,000)时间单位用道路i从P1\_i走到P2\_i或者从P2\_i 走到P１\_i 他想更新一些路经来减少每天花在路上的时间.具体地说,他想更新K (1 <= K <= 20)条路经，将它们所须时间减为０．帮助FJ选择哪些路经需要更新使得从１到N的时间尽量少. ###

## 输入格式 ##

### 第一行: 三个空格分开的数: N, M, 和 K ###

### 第2..M+1行: 第i+1行有三个空格分开的数：P1\_i, P2\_i, 和 T\_i ###

## 输出格式 ##

### 第一行: 更新最多Ｋ条路经后的最短路经长度． ###

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### 解法1： ###

#### 动态规划。设dis(i,j)表示更新了j条路径之后i的最短路，设pre(u)表示u的前驱节点，那么： ####

\\\[ dis\[i\]\[j\]=Min\_\{k\{\\in\}pre(i)\}\{\\\{\}Min(dis\[k\]\[j\]+edge(k,i),dis\[k\]\[j-1\])\{\\\}\} \\\]

### 解法2： ###

#### 分层图最短路，把原图多建k层，若原图中存在edge(u,v)，那么把每层的u都往下一层的v连一条长度为0的有向边，然后跑最短路即可。答案为每一层终点的最短路的最小值 ####

### 时间复杂度都是O((N+M)log(K\*(N+M)))。给出分层图最短路的代码： ###

#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> #define maxn 10001 #define maxm 50001 #define maxk 21 using namespace std; struct edge{ int to,dis,next; edge(){} edge(const int &_to,const int &_dis,const int &_next){ to=_to,dis=_dis,next=_next; } }e[maxm*maxk*4]; int head[maxn*maxk],k; int dis[maxn*maxk]; bool vis[maxn*maxk]; int n,m,q,s,t; inline int read(){ register int x(0),f(1); register char c(getchar()); while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); } while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); return x*f; } inline void add(const int &u,const int &v,const int &w){ e[k]=edge(v,w,head[u]),head[u]=k++; } inline void dijkstra(){ priority_queue< pair<int,int>,vector< pair<int,int> >,greater< pair<int,int> > > q; memset(dis,0x3f,sizeof dis),dis[1]=0; q.push(make_pair(0,1)); while(q.size()){ int u=q.top().second; q.pop(); if(vis[u]) continue; vis[u]=true; for(register int i=head[u];~i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis) dis[v]=dis[u]+e[i].dis,q.push(make_pair(dis[v],v)); } } } int main(){ memset(head,-1,sizeof head); n=read(),m=read(),q=read(); for(register int i=1;i<=m;i++){ int u=read(),v=read(),w=read(); for(register int j=0;j<=q;j++) add(u+n*j,v+n*j,w),add(v+n*j,u+n*j,w); for(register int j=1;j<=q;j++) add(u+n*(j-1),v+n*j,0),add(v+n*(j-1),u+n*j,0); } dijkstra(); int ans=0x3f3f3f3f; for(register int i=0;i<=q;i++) ans=min(ans,dis[n+n*i]); printf("%d\n",ans); return 0; }

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