累加法

今天药忘吃喽~ 2021-12-23 04:53 357阅读 0赞

## 前言 ##

> 求通项公式题型中，如果给定条件最终可以转化为\\(a\_\{n+1\}-a\_n=f(n)\\)的形式，或者可以转化为\\(a\_n-a\_\{n-1\}=f(n)\\)的形式，则我们就可以考虑使用累加法求通项公式。

## 一、注意事项 ##

①由已知的原始表达式衍生出\\(n-1\\)个同结构的表达式，其前提条件为\\(n\\ge 2\\)，但是求和时只需要这\\(n-1\\)个表达式，不用原始表达式参与求和，等号左端累加消项的结果是\\(a\_n-a\_1\\)，右端往往是可以求和的等差数列或等比数列或分解成可以裂项相消的两项，故可以求和；同时注意对\\(n=1\\)的条件的验证。

②注意每一个衍生式子的下标与上标的联系，以防止写错。

③注意运算：\\(ln(1+\\cfrac\{1\}\{n\})=ln\\cfrac\{n+1\}\{n\}=ln(n+1)-lnn\\)。

## 二、方法介绍 ##

例1已知\\(a\_1=4，a\_\{n+1\}=a\_n+2 \\cdot 3^n+1\\)，求数列的通项公式。

分析：将已知条件变形为\\(a\_\{n+1\}-a\_n=2 \\cdot 3^n+1\\)，

则由上式可知，当\\(n\\ge 2\\)时，

\\\[a\_n-a\_\{n-1\}=2\\cdot 3^\{n-1\}+1\\\]

\\\[a\_\{n-1\}-a\_\{n-2\}=2\\cdot 3^\{n-2\}+1\\\]

\\\[a\_\{n-2\}-a\_\{n-3\}=2\\cdot 3^\{n-3\}+1\\\]

\\\[\\cdots，\\cdots\\\]

\\\[a\_2-a\_1=2\\cdot 3^1+1\\\]，

以上\\(n-1\\)个式子累加，得到

\\(a\_n-a\_1=2(3^1+3^2+\\cdots+3^\{n-1\})+n-1\\)，

即\\(a\_n-a\_1=2\\cdot \\cfrac\{3(1-3^\{n-1\})\}\{1-3\}+n-1\\)，

即\\(a\_n=3^n+n(n\\ge 2)\\)；

又\\(n=1\\)时，\\(a\_1=4\\)满足上式，

故通项公式为\\(a\_n=3^n+n(n\\in N^\*)\\)

## 三、对应练习 ##

练1在数列\\(\\\{a\_n\\\}\\)中，\\(a\_1=1\\)，若\\(a\_\{n+1\}-a\_n=2n+1\\)，求\\(a\_n\\)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

练2在数列\\(\\\{a\_n\\\}\\)中，\\(a\_1=1\\)，若\\(a\_\{n+1\}-a\_n=2^n\\)，求\\(a\_n\\)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

练3在数列\\(\\\{a\_n\\\}\\)中，\\(a\_1=2\\)，若\\(a\_\{n+1\}=a\_n+ln(1+\\cfrac\{1\}\{n\})\\)，求\\(a\_n\\)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

练4在数列\\(\\\{a\_n\\\}\\)中，\\(a\_1=2\\)，若\\(\\cfrac\{a\_\{n+1\}\}\{n+1\}=\\cfrac\{a\_n\}\{n\}+ln(1+\\cfrac\{1\}\{n\})\\)，求\\(a\_n\\)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

练5在数列\\(\\\{a\_n\\\}\\)中，\\(a\_1=1\\)，若\\(a\_\{n+1\}=a\_n+\\cfrac\{1\}\{n(n+1)\}\\)，求\\(a\_n\\)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

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